Aula 5 - O que são tensores?

O que é um Tensor?

Introdução ao conceito de tensor

• O professor introduz a aula questionando o que é um tensor, destacando a confusão comum entre tensores, matrizes e vetores.

• Um tensor é descrito como um objeto algébrico que mapeia linearmente um conjunto de objetos lineares para outro, conforme mencionado em livros de referência.

Mapeamento Linear

• A explicação sobre mapeamento linear envolve a multiplicação de uma matriz por um vetor, transformando-o em outro espaço vetorial.

• O exemplo clássico apresentado envolve uma matriz A e um vetor x, onde a multiplicação resulta em outro vetor no espaço correspondente.

Transformações Lineares

• A transformação linear é definida como uma função que associa cada vetor do domínio (por exemplo, mathbbR^4) a um vetor no contradomínio (mathbbR^2).

• A definição formal da transformação linear inclui regras específicas que devem ser seguidas para garantir sua validade.

Propriedades das Transformações Lineares

• As propriedades incluem:

• A soma de dois vetores deve ser igual à soma das transformações desses vetores.

• Multiplicação por escalar deve respeitar as regras da transformação.

Exemplos Práticos

• Um exemplo prático ilustra como aplicar uma forma linear sobre mathbbR^3, levando elementos desse espaço para os reais.

• O uso do produto interno é demonstrado com vetores específicos, mostrando como calcular o resultado da transformação linear.

Conclusão sobre Tensores

• Finalizando, o professor reafirma que tensores são objetos genéricos que descrevem mapeamentos lineares ou transformações lineares entre conjuntos algébricos.