🔴Clase 7 – Funciones, tablas y gráficas -- Curso INTENSIVO PAA // UDG // ITAM // ITESM

Bienvenida y Preparación para Exámenes de Admisión

Introducción del Profe Luis Conchas

• El profe Luis Conchas da la bienvenida a los estudiantes que se preparan para sus exámenes de admisión desde Guadalajara, Jalisco, México.

• Menciona que el examen de aptitud académica se aplica en varias universidades, tanto nacionales como internacionales, incluyendo a estudiantes de Honduras.

Apoyo a Estudiantes

• Se ofrece apoyo especial a los estudiantes hondureños que tienen su examen el domingo; habrá una transmisión en vivo previa al examen.

• Se enfatiza la importancia del tema de funciones, considerado uno de los favoritos en los exámenes de admisión.

Curso 50 Más: Temas Clave para Exámenes

Detalles del Curso

• Anuncio del curso "50 más", que cubre los 50 temas más preguntados en el examen de admisión, comenzando el 22 de abril y finalizando el 17 de mayo.

• Este curso es útil no solo para la Universidad de Guadalajara sino también para otros exámenes como EXANI II y EGA.

Información Adicional

• Se menciona que estos temas son fundamentales y aparecen frecuentemente en diversas pruebas de admisión.

• Los interesados pueden obtener más información contactando al equipo del curso.

Conceptos Fundamentales sobre Funciones

Definición Básica

• Las funciones se definen por valores de entrada (x) y valores de salida (y), siendo crucial entender esta relación.

Ejemplo Práctico

• Se explica cómo sustituir un valor dado (por ejemplo, x = 7), mostrando cómo calcular el resultado final mediante sustitución.

Ejercicios con Sustitución

Aplicación Práctica

• Al sustituir x = -2 en una función, se ilustra cómo realizar cálculos paso a paso para encontrar el valor final o salida correspondiente.

• La relación entre valores negativos y positivos se destaca al explicar cómo elevar números negativos a potencias pares resulta en un número positivo.

¿Cómo resolver funciones y sus valores?

Introducción a las funciones

• Se explica la relación entre los valores de entrada (x) y salida (y) en una función, destacando que al multiplicar menos por menos se obtiene un resultado positivo.

• Se menciona que en una función solo existen dos tipos de valores: el valor de entrada (x) y el valor de salida (resultado final).

Proceso de sustitución

• El valor de x es siempre el que se sustituye para encontrar el resultado final, conocido como valor de salida o coordenada y.

• Se ilustra cómo sustituir -2 en la función para calcular el resultado final, enfatizando la jerarquía de operaciones.

Ejemplo práctico

• Al realizar las operaciones con -2, se llega a un resultado final de 5, lo que indica que la respuesta correcta es "d".

• Se recalca la importancia de identificar si se está trabajando con un valor de entrada o un valor de salida en ejercicios matemáticos.

Identificación del tipo de dato

• Cuando no se proporciona el valor de x directamente, sino un resultado final (como 19), se debe formar una ecuación para despejar x.

• La diferencia entre tener un valor dado para x y tener que trabajar con un valor final es crucial para resolver correctamente los problemas.

Resolviendo ecuaciones

• En este caso específico, al establecer 4x - 5 = 19, se despeja x sumando 5 a ambos lados.

• Al dividir por 4 después del despeje, se encuentra que x = 6. Esto contrasta con ejemplos anteriores donde sí había un valor directo para x.

Comparación entre ejercicios

• Se compara este ejercicio con uno anterior donde sí se proporcionó el valor directo para x (-2), mostrando diferentes métodos según los datos disponibles.

• En otro ejemplo presentado, al preguntar qué valores hacen que la función valga 17, también hay que formar una ecuación similar a antes.

Conclusión sobre identificación

• Es fundamental leer cuidadosamente las preguntas en los ejercicios; si están formuladas en plural ("valores"), puede haber múltiples soluciones posibles.

Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas

Conceptos Básicos de Raíces Cuadradas

• Se establece que al resolver la ecuación x^2 = 25, se busca el valor de x. La raíz cuadrada de x^2 es x, y la raíz cuadrada de 25 puede ser tanto positiva como negativa.

• Al calcular la raíz cuadrada, se obtienen dos resultados: 5 y -5. Esto implica que hay múltiples valores para x que satisfacen la ecuación.

Validación de Resultados

• Se verifica si -5 es una solución válida al sustituirlo en la ecuación original. El resultado confirma que -5 cumple con la condición.

• De manera similar, se valida el número positivo 5, mostrando que ambos resultados son correctos al elevarse al cuadrado y restar 8.

Proceso Algebraico

• Al despejar en una ecuación cuadrática, siempre aparecen dos soluciones: una positiva y otra negativa. Este proceso es fundamental en álgebra.

• En cualquier función, solo existen dos alternativas: un valor de entrada o un valor de salida. Es crucial identificar cuál se está proporcionando en los ejercicios.

Ejemplo Práctico con Funciones

• Se presenta un ejercicio donde se debe determinar el valor de n dado que la función pasa por el punto (7,n). Aquí, 7 representa a x.

• Al sustituir el valor de entrada (x = 7) en la función dada, se calcula el valor correspondiente para y = n = 13.

Más Ejercicios sobre Funciones

• En otro ejemplo, se analiza cómo determinar el valor de salida cuando se conoce un punto específico (A4). Aquí, A representa a y = 4.

• Se arma una ecuación a partir del valor conocido y se despeja para encontrar el correspondiente valor de entrada (x = -1).

Este resumen proporciona una visión clara sobre cómo resolver ecuaciones cuadráticas y trabajar con funciones matemáticas mediante ejemplos prácticos.

Funciones: Comprendiendo Valores de Entrada y Salida

Conceptos Básicos de Funciones

• En las funciones, hay dos tipos de valores: valor de entrada y valor de salida. A menudo, en los exámenes, se presentan para confundir a los estudiantes.

• Cuando se ve una notación como F(-5), esto indica que el valor de X es -5. Es simplemente otra forma de expresar la misma información.

• La expresión F(-5) no implica multiplicación; solo indica que en la función, X toma el valor -5. Esto es crucial para entender cómo funcionan las sustituciones.

Ejemplo Práctico con Valor Absoluto

• Al calcular 3 * (-5) + 4, se obtiene -15 + 4 = -11. El valor absoluto convierte este resultado negativo en positivo, resultando en 11 como valor de salida.

• Se enfatiza que siempre hay dos opciones en una función: recibir un valor de entrada o un valor de salida. Si se da un valor de entrada, se debe realizar una sustitución.

Sustituciones y Confusiones Comunes

• La clase actual trata sobre funciones (clase número ocho). Se recomienda revisar videos anteriores sobre el concepto del valor absoluto, ya que es fundamental para resolver problemas relacionados.

• Al ver expresiones como F(-5), el número dentro del paréntesis representa el valor asignado a X. Por lo tanto, al sustituir x = -5 en la función correspondiente, se puede calcular fácilmente.

Más Ejemplos y Aplicaciones

• Un nuevo ejemplo presenta G(5). Aquí también se está dando un valor de entrada (X = 5), lo cual requiere hacer una sustitución similar a la anterior.

• Al sustituir X por 5 en la función G(x), se realizan cálculos simples para encontrar el resultado final (39).

Resumen Final sobre Funciones

• Se reitera que siempre hay dos valores clave: valores de entrada (X) y valores de salida (Y). Estos pueden presentarse también en forma tabular pero siguen siendo los mismos conceptos fundamentales.

• Para determinar la fórmula correcta de una función dada entre varias opciones, nunca debe seleccionarse el primer valor presentado; este suele ser engañoso y destinado a principiantes.

¿Cómo elegir valores para funciones matemáticas?

Estrategias para seleccionar valores

• Se recomienda no usar el primer ni el último valor al evaluar funciones, ya que estos suelen cumplir con la mayoría de las opciones y pueden llevar a errores en la selección.

• Al sustituir un valor (por ejemplo, x = 4), se debe verificar que el resultado final sea correcto. En este caso, 5 * 4 - 3 debe dar 17.

• La única opción que cumplió fue la letra A. Es importante descartar las opciones que no cumplen para encontrar la correcta.

Importancia del método de prueba y error

• Usar el primer valor puede resultar en una pérdida de tiempo, ya que muchos resultados pueden ser válidos sin ser correctos. Por ejemplo, al probar con x = 1, varios resultados cumplieron pero no eran útiles.

• Se enfatiza la importancia de evitar sustituciones innecesarias desde un principio para ahorrar tiempo en evaluaciones.

Reflexiones sobre elecciones personales

• Se compara la elección de valores en matemáticas con decisiones personales; a veces nos aferramos a lo que queremos aunque no sea lo mejor.

Comprobación de funciones

• Para determinar cuál es la función correcta, es necesario comprobar cada opción hasta encontrar solo una que cumpla con los requisitos establecidos.

Ejemplos prácticos y fórmulas

• Al evaluar diferentes funciones, se sugiere evitar siempre los extremos (primer y último valor). Por ejemplo, si x = 6 debería dar como resultado 13; se deben probar diferentes ecuaciones hasta encontrar la correcta.

• La función debe tener dos tipos de valores: entrada (x) y salida (resultado). El objetivo es identificar cuál función cumple con el resultado esperado.

Evaluación vertical vs horizontal

• Las tablas pueden presentarse tanto horizontal como verticalmente. En ambos casos se debe seguir evitando los extremos al seleccionar valores para asegurar resultados precisos.

¿Cómo resolver ecuaciones con diferentes valores?

Proceso de sustitución en ecuaciones

• Se discute la necesidad de usar un valor diferente para sustituir en una ecuación, ejemplificando con el número uno, que no cumple ya que 1 + 5 = 6 y se busca que dé cuatro.

• Al elegir el número dos como valor, se encuentran dos combinaciones válidas: 2 + 5 = 7 y 4 + 3 = 7. Esto indica que hay múltiples soluciones posibles.

• Se analiza cómo al sustituir con uno, no se obtiene el resultado deseado (cuatro), lo que lleva a descartar esa opción y quedarse con la combinación válida.

• Se menciona que la opción D también es inválida porque no cumple con todos los requisitos; por ejemplo, para el número dos da ocho en lugar de siete.

• El profesor destaca la importancia de cumplir todas las condiciones establecidas en los ejercicios matemáticos.

Aplicación gráfica de funciones

• Se introduce un nuevo ejercicio sobre cómo determinar el valor de una función cuando x = -3, enfatizando la necesidad de cumplir en todos los puntos relevantes.

• Se plantea un ejercicio donde se debe encontrar cuánto vale la función cuando x = 3. La metodología implica buscar este valor en el eje X y luego proyectar hacia arriba hasta tocar la línea de la función.

• Una vez tocada la línea, se regresa al eje Y para identificar el valor correspondiente a ese punto específico. Aquí se establece claramente qué representan x e y: entrada y salida respectivamente.

Ejemplo práctico

• En un ejercicio específico, si x = 3, el resultado devuelto es uno. Esto ilustra cómo funciona el proceso de entrada/salida dentro del contexto gráfico.

• Se propone otro ejemplo donde si x = -1, se debe seguir un procedimiento similar para encontrar su respectivo valor en Y al tocar la curva hacia abajo.

Intersección con ejes

• El profesor explica cómo identificar las coordenadas donde una función intersecta con el eje Y. Este proceso involucra observar visualmente dónde ocurre esta intersección específica.

• A través del uso de colores para marcar ejes y funciones, se facilita entender cuál es exactamente la coordenada buscada durante este análisis gráfico.

¿Cómo se determina el valor de una función en un gráfico?

Introducción a las coordenadas

• Se explica cómo escribir coordenadas, comenzando con la x y luego la y. En este caso, la coordenada es (0, 2), donde x = 0 y y = 2.

Ejercicio sobre funciones

• Se menciona que la respuesta al ejercicio está ubicada en la letra b. Un estudiante comenta que olvidó pagar el examen, lo que genera una reacción del profesor.

• El profesor anima a los estudiantes a estar preparados para el examen y les recuerda que deben tener graficaciones para resolver problemas.

Resolviendo valores de funciones

• Se plantea un nuevo ejercicio donde se debe encontrar F(-2). El profesor indica que esto significa que x debe ser igual a -2.

• Al ubicar x = -2 en el gráfico, se encuentra que el valor correspondiente de y es -1. Por lo tanto, F(-2) = -1.

Análisis de gráficos

• El profesor repasa cómo interpretar F(-2), enfatizando la importancia de regresar al eje y después de encontrar el punto en el gráfico.

• Se utiliza una analogía de "carritos chocones" para explicar cómo interactuar con la gráfica al buscar valores específicos.

Comparación entre diferentes valores

• Se introduce otro ejercicio: calcular F(-3) y F(4). Primero se busca x = -3 en el gráfico.

• Al chocar con la línea del gráfico cuando x = -3, se obtiene un resultado de 3. Luego se analiza qué sucede cuando x = 4.

Resultados finales

• Al calcular F(4), se encuentra que regresa un valor de -2. La combinación final da como resultado 5 tras realizar las operaciones necesarias.

• El profesor pregunta si hay dudas o inquietudes sobre los ejercicios realizados hasta ahora e invita a los estudiantes a expresar sus confusiones para poder ayudarles mejor.

Conclusión sobre funciones

• Se reitera que siempre existe un valor dentro de las funciones y se hace hincapié en recordar cómo funcionan las coordenadas en el plano cartesiano.

Análisis de Funciones en el Plano Cartesiano

Ubicación de Puntos en el Eje X y Y

• Se explica cómo ubicar un punto en el plano cartesiano, tomando como ejemplo cuando x = -3. Se busca el valor correspondiente en el eje Y.

• Al verificar el valor en el eje Y, se determina que es positivo (3), ya que los valores hacia arriba son positivos y hacia abajo negativos.

• Se analiza otro caso donde x = 4; al chocar con la línea, se obtiene un valor negativo (-2) para Y, lo que lleva a una operación matemática para encontrar el resultado final.

Operaciones Matemáticas y Resultados

• La operación final se presenta como 3 - (-2), simplificándose a 5. Este resultado es crucial para entender la relación entre las coordenadas.

• Se discute la importancia de saber cuándo regresar a valores negativos o positivos basándose en la ubicación en los ejes del plano cartesiano.

Ejercicio Práctico de Evaluación

• Un ejercicio específico del examen de aptitud académica de mayo de 2023 se introduce, relacionado con funciones matemáticas y su representación gráfica.

• El problema plantea determinar n = f(3). Se enfatiza que primero hay que encontrar f(3), ignorando temporalmente otras partes del problema.

Proceso para Encontrar Valores Funcionales

• Para calcular f(3), se establece x = 3 y se verifica qué valor regresa al "chocar" con la función F. El resultado obtenido es 5.

• Una vez encontrado n = 5, se plantea una nueva pregunta sobre g(n). Ahora hay que evaluar g(5).

Resolución Final del Problema

• Al buscar g(5), se repite el proceso anterior: establecer x = 5 y verificar qué valor retorna al chocar con la función G. El resultado es 4.

• La respuesta final del ejercicio es confirmada como cuatro, resaltando la importancia de practicar este tipo de problemas para mejorar la comprensión matemática.

¿Cómo encontrar el valor máximo y mínimo de una función?

Conceptos básicos sobre funciones

• Se introduce la idea de buscar valores máximos y mínimos en ecuaciones o funciones, destacando su importancia en el análisis gráfico.

• Se compara la búsqueda del valor máximo de una función con una montaña rusa, donde el carrito sube y baja, simbolizando los puntos altos y bajos de la función.

Identificación del valor máximo

• El punto más alto alcanzado por la función se considera su valor máximo. Este se representa gráficamente como un punto elevado en el eje Y.

• En un ejemplo práctico, se determina que el valor máximo es 4, ya que es el punto más alto alcanzado por la gráfica.

Identificación del valor mínimo

• Al buscar el valor mínimo de una función, se aplica un razonamiento similar al del valor máximo; se identifica el punto más bajo en la gráfica.

• En otro ejemplo, se establece que el punto más bajo es -3, lo cual representa el límite inferior de la función.

Dominio y rango de las funciones

• Se explica que cuando se pregunta por los máximos y mínimos de una función, estos siempre están relacionados con respecto al eje Y.

• El dominio de una función está relacionado con el eje X. Es crucial entender esta distinción para resolver problemas correctamente.

Importancia de los puntos llenos y vacíos

• La diferencia entre puntos llenos (incluidos en el dominio/rango) y puntos vacíos (excluidos del dominio/rango) es fundamental para determinar correctamente estos valores.

• Los puntos llenos deben representarse con corchetes mientras que los vacíos utilizan paréntesis. Esta notación es esencial para interpretar gráficas adecuadamente.

Evaluación de Funciones y Gráficas

Introducción a la Evaluación de Gráficas

• Se presenta un ejercicio sobre la evaluación de gráficas, enfatizando la importancia de identificar bolitas llenas y vacías en el gráfico.

• Se explica cómo distinguir entre una bolita vacía (representada con un círculo vacío) y una bolita llena (representada con un círculo lleno).

Rango y Dominio

• La pregunta clave es determinar el rango de la función, que se refiere al eje Y. El dominio se relaciona con el eje X.

• Se establece que el rango va desde -5 hasta 3, destacando que siempre se debe considerar de abajo hacia arriba.

Notación del Rango

• Para representar el rango, se utilizan paréntesis para las bolitas vacías (como en -5) y corchetes para las bolitas llenas (como en 3).

• Es crucial entender que no es lo mismo calcular el dominio que calcular el rango; cada uno tiene su propio enfoque.

Contexto Académico

• Se menciona que los conceptos tratados son básicos para exámenes de admisión como la prueba de aptitud académica o EXANI 2.

• Las matemáticas del examen son limitadas comparadas con las aplicaciones reales en ingeniería, donde se abordan temas más complejos.

Diferencias entre Dominio y Rango

• Al calcular el dominio, se analiza el eje X; al calcular el rango, se analiza el eje Y. Esta distinción es fundamental.

• En términos de notación: en el dominio los valores se organizan de izquierda a derecha; en el rango, de abajo hacia arriba.

Preparación para Exámenes

Curso Preparativo

• Se introduce un curso llamado "50 más", enfocado en los 50 temas más preguntados para preparar a los estudiantes para su examen.

• El curso incluye clases por Zoom o presenciales, material didáctico y acceso a plataformas educativas.

Información Adicional sobre EXANI 2

• El EXANI 2 comenzará el 8 de abril y finalizará el 24 de mayo. Las clases tienen una duración de dos horas y media diarias.

Importancia del Enfoque Correcto

• Es esencial centrarse en cómo se presentan las preguntas en los exámenes para maximizar la preparación efectiva.

¿Cómo identificar funciones lineales y cuadráticas?

Funciones Lineales

• El profesor Luis explica cómo determinar si una función lineal es positiva o negativa, enfatizando que se debe leer el plano cartesiano de izquierda a derecha.

• Una función lineal es positiva si al leerla de izquierda a derecha, la gráfica sube. Esto indica que la función tiene un valor positivo.

• En contraste, una función lineal es negativa si al leerla de izquierda a derecha, la gráfica baja. Esto significa que su valor es negativo.

• Se introduce la terminología "funciones lineales crecientes" para referirse a funciones positivas y "funciones lineales decrecientes" para las negativas.

• La estructura general de una función lineal se presenta como y = ax + b, donde 'a' puede ser positivo o negativo dependiendo del tipo de función.

Funciones Cuadráticas

• Las funciones cuadráticas también pueden ser positivas o negativas. La forma general es y = ax^2, donde 'a' determina su dirección.

• Una función cuadrática positiva tiene un gráfico que baja inicialmente pero termina subiendo; mientras que una negativa comienza subiendo y termina bajando.

• El profesor destaca que reconocer estas formas gráficas es clave para identificar correctamente las funciones cuadráticas en exámenes.

Funciones Cúbicas

• Se menciona brevemente las funciones cúbicas, explicando que tienen una apariencia similar a un ADN y pueden ser positivas o negativas según su comportamiento gráfico.

• La fórmula general para una función cúbica se presenta como y = ax^3. Las cúbicas positivas suben de izquierda a derecha, mientras que las negativas bajan.

Funciones Exponenciales

• Finalmente, se introducen las funciones exponenciales, diferenciando entre positivas (que suben de izquierda a derecha) y negativas (que bajan).

• La forma estándar de una función exponencial positiva es y = a^x, mientras que la negativa se expresa como y = a^-x.

Estas notas resumen los conceptos fundamentales sobre cómo identificar diferentes tipos de funciones matemáticas basadas en sus gráficos y comportamientos en el plano cartesiano.

¿Qué son las funciones matemáticas?

Funciones Exponenciales y Valor Absoluto

• Se introduce la función exponencial y se menciona la función de valor absoluto, que se representa gráficamente como una "V" invertida.

• La fórmula de una función de valor absoluto se expresa como y = a |x|, donde el valor absoluto está entre barras.

• Se explica que una constante es completamente horizontal, representada por y = a, donde "a" es un número fijo.

Identificación de Funciones Cuadráticas

• Para identificar funciones cuadráticas, solo es necesario reconocer su forma; no hay complicaciones en el examen.

• Las diferentes formas de funciones incluyen: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, valor absoluto y constante.

• En la prueba de aptitud académica, los 50 conceptos esenciales ayudan a obtener al menos un 80% en el examen.

Ejemplos Prácticos

• Se presenta un reactivo del examen anterior sobre cuál opción corresponde a una función cuadrática.

• El ejercicio incluye varias gráficas para seleccionar la correcta; se enfatiza que es sencillo identificarla.

Resumen de la Clase

• La clase concluye con un repaso sobre gráficos y tablas de funciones. Se menciona que la grabación será editada y subida a YouTube para revisión posterior.

• Agradecimientos a los participantes por su conexión durante la clase; se reconoce el inicio caótico debido a problemas técnicos pero se considera cumplida la misión educativa.