Circunferencia Trigonométrica - Ejercicios Resueltos - Nivel 1

Introducción a la Circunferencia Trigonométrica

Conceptos Básicos

• Jorge de Mate Móvil presenta un repaso sobre circunferencias trigonométricas, comenzando con su definición como una circunferencia centrada en el origen de coordenadas.

• La circunferencia tiene un radio igual a 1, y se menciona que el punto donde intersecta el eje x positivo se llama "origen de arcos".

Longitud del Arco

• Se introduce la noción de ángulo central (alfa) y cómo trazar arcos desde el origen.

• La fórmula para calcular la longitud del arco es: longitud = ángulo central × radio. En este caso, dado que el radio es 1, la longitud del arco es igual al ángulo en radianes.

Importancia de los Radianes

• Se enfatiza que los ángulos deben expresarse siempre en radianes para trabajar correctamente con las longitudes de los arcos.

• Se presentan puntos importantes como "extremo del arco" y "extremo de ángulo", que son relevantes en problemas trigonométricos.

Ecuación Fundamental de la Circunferencia

Ecuación Característica

• La ecuación fundamental para una circunferencia con radio 1 es: coordenada x² + coordenada y² = 1.

• Se realiza un ejemplo práctico usando las coordenadas del punto A (1, 0), comprobando que cumple con la ecuación.

Cuadrantes y Ángulos

División del Plano

• El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes, cada uno con sus características específicas respecto a los ángulos centrales.

Primer Cuadrante

• En el primer cuadrante, los ángulos van desde 0 hasta π/2 radiales; todas las razones trigonométricas son positivas.

Segundo Cuadrante

• El segundo cuadrante abarca desde π/2 hasta π radiales; aquí solo seno y su recíproca son positivos.

Tercer Cuadrante

• Desde π hasta 3π/2 radiales corresponde al tercer cuadrante; solo tangente y su recíproca son positivas.

Cuarto Cuadrante

• El cuarto cuadrante va desde 3π/2 hasta 2π radiales; aquí coseno y su recíproca son positivos.

Razones Trigonométricas por Cuadrantes

Positividad de las Razones Trigonométricas

• En cada cuadrante hay diferentes razones trigonométricas que son positivas:

• Primer cuadrante: seno, coseno, tangente.

• Segundo cuadrante: seno (y cosecante).

• Tercer cuadrante: tangente (y cotangente).

Representación de Razones Trigonométricas en la Circunferencia

Introducción a las Razones Trigonométricas

• En el cuarto cuadrante, la razón trigonométrica positiva es el coseno, y su razón recíproca es la secante. Se comienza a trazar las líneas trigonométricas dentro de una circunferencia.

Trazado del Ángulo Alfa

• Se dibuja una circunferencia con radio y centro en el origen. El ángulo central alfa tiene un arco que se extiende desde el punto A en el origen hasta un punto con coordenadas (0.8, 0.6).

Representación del Seno de Alfa

• Para representar el seno del arco alfa, se dibuja una línea perpendicular desde el extremo final del arco hasta el eje X, obteniendo así la representación gráfica del seno.

• La medida del segmento trazado representa al seno de alfa, que equivale a 0.6.

Análisis del Arco Beta

• El arco beta se extiende desde el punto A hasta un nuevo extremo N. Se repite el proceso para representar su seno.

• Al igual que antes, se traza una línea perpendicular desde N hasta el eje X para obtener la representación gráfica del seno de beta.

Cálculo del Seno de Beta

• Las coordenadas finales son (-0.6, -0.8), lo que indica que el seno de beta es negativo debido a estar en el tercer cuadrante donde solo son positivas la tangente y su recíproca.

Representación del Coseno

• Para representar la línea coseno, se sigue un procedimiento similar al seno pero trazando una línea hacia el eje Y.

Ejemplo con Ángulo Alfa

• Se ubica en M (0.8, 0.6), y se traza una recta perpendicular hacia Y para representar al coseno de alfa.

Ejemplo con Ángulo Beta

• Para beta, se hace lo mismo desde N (-0.6, -0.8), resultando en un coseno negativo por estar también en el tercer cuadrante.

Representación de Tangente y Cotangente

• Se inicia dibujando la circunferencia y luego una línea tangente al punto Y que sea perpendicular al radio correspondiente.

Prolongación para Tangente de Alfa

• La tangente se representa prolongando uno de los lados finales del arco hasta tocar la línea tangente.

¿Cómo se representa la tangente y cotangente de los arcos en diferentes cuadrantes?

Representación de la Tangente

• La tangente del arco alfa se representa por el segmento AM. Si el punto de intersección está por encima del eje X, su valor es positivo; si está por debajo, es negativo.

• Para el arco beta, que termina en el segundo cuadrante, se prolonga el lado final hasta tocar la línea tangente. El punto N indica que la tangente del arco beta será negativa.

• En el segundo cuadrante, la tangente es negativa. Esto se confirma al observar que el punto N cae por debajo del eje X.

• Al representar la tangente del arco gamma en el tercer cuadrante, esta es positiva. Se prolonga el lado final hasta que toca la línea tangente.

• La representación de la tangente para el arco gamma muestra un segmento AP con signo positivo porque el punto P está por encima del eje X.

Representación de la Cotangente

• Para representar la cotangente del arco tita en el cuarto cuadrante, se prolonga su lado final hasta chocar con la línea tangente.

• La cotangente del arco alfa también sigue un proceso similar: prolongar hasta que choque con una línea auxiliar trazada desde un origen específico.

• En primer cuadrante, si el punto de intersección está a la derecha del eje Y, entonces es positiva; a la izquierda será negativa.

• En segundo cuadrante, como se espera, la cotangente es negativa. Se representa al prolongar hasta encontrar su intersección con una línea tánger.

• Para determinar si una cotangente es positiva o negativa en otros cuadrantes (como en gamma), se observa donde cae respecto al eje Y tras prolongar su segmento limitador.

Conclusiones sobre Tangentes y Cotangentes

• En tercer cuadrante, tanto las tangentes como las cotangentes son positivas cuando sus puntos de intersección están a la derecha del eje Y.

¿Cómo se representan las secantes y co-secantes en trigonometría?

Representación de la Tangente

• Se inicia con el arco tita, que se extiende hasta el cuarto cuadrante. La tangente se representa prolongando la línea del lado final.

• El segmento que representa la tangente de tita es negativo, ya que el punto Q está a la izquierda del eje Y.

Representación de la Secante

Secante del Arco Alfa

• Para representar la secante, primero se traza una circunferencia trigonométrica centrada en el origen con radio 1, identificando los puntos A y A'.

• Se traza un diámetro grande y luego una línea perpendicular al lado final del arco alfa para interceptar el diámetro.

• La secante del arco alfa está representada por el segmento M; si cae a la derecha del eje Y es positiva, y negativa si cae a la izquierda.

Secante del Arco Beta

• El arco beta comienza en el origen y termina en un punto específico. Se traza una perpendicular al lado final para encontrar su intersección con el eje X.

• La secante de beta es negativa porque su punto N está a la izquierda del eje Y.

Secante del Arco Gamma

• El arco gamma se ubica en el tercer cuadrante. Su secante se representa trazando una línea perpendicular al lado final hasta interceptar el eje X.

• El segmento P también tiene un valor negativo porque está a la izquierda del eje Y.

Secante del Arco Tita

• Al igual que los anteriores, para representar su secante se traza una perpendicular al lado final hasta interceptar el eje X.

• Es importante notar que no siempre hay intersección; por ejemplo, no hay intersección para ángulos como 90 grados debido a ser paralelas.

Representación de Co-secantes

Co-secante del Arco Alfa

• Para representar la co-secante, se busca un punto sobre el eje Y en lugar de sobre el eje X.

• Si este punto cae por encima del eje X, será positivo; si cae por debajo, será negativo.

Co-secante del Arco Beta

Análisis de Arcos y Funciones Trigonométricas

Representación de la Co-secante en Diferentes Cuadrantes

• En el primer cuadrante, se traza una perpendicular al lado final del arco beta que interseca el eje y, representando así la co-secante por el segmento r.

• Para el arco gamma en el tercer cuadrante, se realiza un procedimiento similar trazando una perpendicular desde su lado final hasta el eje y, representando la co-secante con el segmento o.

• En el cuarto cuadrante, para el arco tita, también se traza una línea perpendicular al eje y para determinar su co-secante negativa.

Comparación de Seno y Coseno

• Se presentan afirmaciones sobre las funciones seno y coseno que deben ser evaluadas como verdaderas o falsas. Ejemplos incluyen comparar seno de 20° con seno de 70°.

• El proceso implica trazar líneas trigonométricas en la circunferencia canónica para verificar cada afirmación.

Evaluación del Seno

• Al comparar seno de 20° con seno de 70°, se utiliza un transportador para ubicar los ángulos correspondientes en la circunferencia.

• Se trazan líneas perpendiculares desde los extremos de los arcos hacia el eje x para representar ambos senos.

• Se concluye que seno de 70° es mayor que seno de 20°, lo que hace que la afirmación inicial sea falsa.

Evaluación del Coseno

• Similarmente, se evalúa si coseno de 20° es mayor que coseno de 70°. Se trazan líneas desde los extremos finales hacia el eje y.

• La comparación muestra que coseno de 20° tiene mayor longitud que coseno de 70°, confirmando así la veracidad de esta afirmación.

Evaluación de Tangente

• Para evaluar si tangente de 20° es mayor que tangente de 70°, se dibuja una línea tangente a la circunferencia trigonométrica.

• Las líneas son prolongadas hasta tocar la línea tangente correspondiente, permitiendo visualizar las relaciones entre las tangentes.

¿Cuál es la longitud de la tangente de 70 grados?

Análisis de segmentos y longitudes

• Se discute que la tangente de 70 grados está representada por un segmento que va desde el punto A hasta el punto N, donde se menciona que este segmento tiene una longitud mayor a otros segmentos en consideración.

• Se plantea una comparación entre dos segmentos: uno desde A hasta N y otro desde A hasta un punto M. La conclusión es que el segmento AN es más largo.

• Se afirma que, lógicamente, la tangente de 70 grados debe ser mayor debido a la longitud del segmento AN comparado con otros segmentos mencionados.

• La afirmación inicial sobre cuál es el mayor se considera falsa, lo que lleva a concluir que la respuesta correcta sería "falso" en relación a las comparaciones realizadas.