✅ MAPEO - Mapeo reciproco o inverso | f(z)=1/z | Matematica Aplicada | Fio UNAM

Introducción a los mapeos lineales y cuadráticos

Resumen de la sección: En esta sección, se introduce el concepto de mapeos lineales y cuadráticos. Se menciona que ya se ha trabajado con el mapeo lineal como ejemplo y ahora se explorará el mapeo cuadrático. También se destaca la importancia del mapeo inverso en el análisis de impedancia y admitancia de circuitos eléctricos.

Mapeo lineal y cuadrático

• El mapeo lineal es un ejemplo sencillo de función racional donde la ley de mapeo es un polinomio de primer grado.

• Se menciona que ahora se trabajará con el mapeo cuadrático, que es un polinomio de segundo grado.

• Se destaca que el mapeo inverso tiene una importancia especial en el análisis de impedancia y admitancia en circuitos eléctricos.

Introducción al mapeo inverso

Resumen de la sección: En esta sección, se explora qué significa el concepto de "mapeo inverso" y cómo está relacionado con las funciones racionales. Se mencionan las características generales del mapeo inverso y su importancia en el análisis físico.

Ley inversa del mapeo

• El término "ley inversa del mapeo" hace referencia a una expresión matemática que representa una función racional.

• La forma más sencilla de una función racional es aquella donde el numerador es constante y el denominador es un polinomio lineal.

• Se muestra un ejemplo de una ley inversa del mapeo con numerador constante y denominador lineal.

Mapeo inverso puro

Resumen de la sección: En esta sección, se introduce el concepto de "mapeo inverso puro" y se exploran sus efectos en el plano complejo. Se analiza cómo este tipo de mapeo invierte el módulo y el ángulo de los puntos en el plano.

Efectos del mapeo inverso puro

• El mapeo inverso puro invierte el módulo de los puntos en el plano complejo.

• Si un punto está cerca del origen, su módulo será pequeño, pero al aplicar el mapeo inverso, su nuevo módulo será grande.

• Por otro lado, si un punto está lejos del origen, su módulo será grande, pero al aplicar el mapeo inverso, su nuevo módulo será pequeño.

• El ángulo original también se invierte en sentido negativo al aplicar el mapeo inverso.

Ejemplos del mapeo inverso

Resumen de la sección: En esta sección, se presentan ejemplos adicionales para comprender mejor los efectos del mapeo inverso. Se muestra cómo diferentes puntos en el plano complejo son transformados por el mapeo inversa.

Ejemplo 1

• Se toma un punto con componente imaginaria positiva y se pregunta cuál sería su imagen bajo el mapeo inversa.

• La respuesta es que la imagen tendría un valor medio y un ángulo negativo (-90 grados).

Ejemplo 2

• Se toma un punto con componente imaginaria negativa y se pregunta cuál sería su imagen bajo el mapeo inversa.

• La respuesta es que la imagen tendría un valor medio y conservaría el mismo ángulo.

Ejemplo interactivo

Resumen de la sección: En esta sección, se presenta un ejemplo interactivo donde los espectadores deben determinar las imágenes de diferentes puntos bajo el mapeo inverso.

Ejemplo interactivo

• Se muestra una serie de puntos en el plano complejo con diferentes valores.

• Los espectadores deben determinar las imágenes de estos puntos bajo el mapeo inverso, considerando tanto el cambio en el módulo como en el ángulo.

Conclusiones

En este video se introducen los conceptos de mapeo lineal, mapeo cuadrático y mapeo inverso. Se explora cómo el mapeo inverso invierte tanto el módulo como el ángulo de los puntos en el plano complejo. Además, se presentan ejemplos interactivos para comprender mejor estos conceptos. El mapeo inverso tiene una importancia especial en el análisis de impedancia y admitancia en circuitos eléctricos.

Posición y ángulo del mapeado inverso

Resumen de la sección: En esta sección, se discute la posición y el ángulo del mapeado inverso en función de los valores de módulo y ángulo.

Posición del mapeado inverso

• El punto f en coordenadas cartesianas es -2.

• El valor absoluto de f prima (inversa de f) es 1/(-2), que es un número real negativo.

• El módulo de f prima es 1/2, lo cual indica que el mapeado va a estar a una distancia de 1/2 unidades del origen sobre el eje imaginario.

Ángulo del mapeado inverso

• El ángulo de f es -π/2.

• El ángulo de f prima será π/2, ya que la inversa invierte el signo del ángulo pero conserva su magnitud.

• Gráficamente, ambos ángulos coinciden con el eje imaginario negativo.

Ejemplo práctico

• Se toma un punto t ubicado a 8 unidades del origen en el eje real.

• El mapeado lleva este punto a una ubicación a 4 unidades del origen sobre el eje imaginario puro.

• La escala utilizada para representar este punto sería 1/8.

• En comparación con otros puntos, este punto está más lejos del origen en el plano z y más cerca en el plano w.

Singularidades en los mapeos inversos

Resumen de la sección: En esta sección, se explora la presencia de singularidades en los mapeos inversos y su efecto en el mapeado del origen.

Mapeo del origen del plano z

• Si se intenta mapear el origen del plano z, este punto tiende a irse al infinito en el plano w.

• El valor 1/0 tiende al infinito, lo que impide marcar el mapeado del origen en el plano w.

Mapeo del origen del plano w

• El origen del plano w corresponde al mapeado de un punto en particular ubicado en el infinito.

• No necesariamente todos los puntos en el infinito están representados por el origen del plano w.

• En general, se puede decir que el infinito del plano z se mapea en el origen del plano w y viceversa.

Singularidades en los mapeos inversos

• Los mapeos inversos pueden presentar singularidades, es decir, puntos donde la función no está definida.

• En este caso, la singularidad se encuentra en el origen del dominio (plano zeta).

• Al intentar mapear esta singularidad, nos dirigimos hacia el infinito en el plano w.

• Es importante tener cuidado con las singularidades al trabajar con los mapeos inversos.

Presencia de singularidades

Resumen de la sección: En esta sección, se destaca la presencia de singularidades en los mapeos inversos y cómo difiere de otros tipos de funciones.

Singularidades en los mapeos inversos

• Los mapeos inversos siempre tienen una singularidad debido a la forma de la función 1/zeta.

• Esta singularidad suele ser el origen (plano zeta), lo cual significa que cualquier punto cercano al origen se mapea hacia el infinito en el plano w.

• Esta situación no se presenta en los mapeos lineales y cuadráticos, ya que son funciones enteras y no tienen valores prohibidos.

Cuidado con los mapeos inversos

• Es importante tener especial cuidado al trabajar con los mapeos inversos debido a la presencia de singularidades.

• Siempre habrá un punto del plano que es una singularidad para la función de papel inverso.

• Al mapear ese punto, nos dirigimos hacia el infinito en el plano w.

• Esta situación puede presentarse en los mapeos inversos, a diferencia de otros tipos de funciones.

Ley general para mapear circunferencias y rectas

Resumen de la sección: En esta sección, el objetivo es encontrar una ley general que nos permita mapear circunferencias y rectas en el plano. Se parte de la ecuación general que representa a todas las circunferencias y rectas en el plano cartesiano.

Ecuación general de rectas y circunferencias

• La ecuación general que representa a todas las circunferencias y rectas en el plano cartesiano es: a * x^2 + b * x * y + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0.

• Si la constante "a" es nula, estamos en presencia de rectas. Si "a" no es nula, estamos en presencia de circunferencias.

• Las constantes "a", "b", "c", "d", "e" y "f" son reales.

Mapeo inverso

• Aplicando el mapeo inverso, donde w = 1/z, podemos obtener una nueva ecuación en términos del plano w.

• La ecuación resultante después del mapeo inverso es: (3w^2 + p^2)w - 2pwy - c = 0.

Propiedades del conjugado complejo

Resumen de la sección: En esta sección, se exploran las propiedades del conjugado complejo para simplificar expresiones.

Propiedades del conjugado complejo

• Para un número complejo z = x + iy, su conjugado se puede escribir como z* = x - iy.

• Si sumamos un número complejo con su conjugado, obtenemos el doble de la parte real: z + z* = 2x.

• Si restamos un número complejo con su conjugado, obtenemos dos veces la parte imaginaria: z - z* = 2iy.

• El producto de un número complejo por su conjugado es igual al módulo al cuadrado del número complejo: zz* = |z|^2.

Ecuación general en el plano w

Resumen de la sección: En esta sección, se transforma la ecuación general de rectas y circunferencias en el plano w.

Transformación a variables cartesianas

• Utilizando las propiedades del conjugado complejo, podemos expresar las operaciones entre w y su conjugado en términos de variables cartesianas.

• La ecuación general en el plano w resultante es: (3y^2 + p^2)y + py(x - y) + ax^2 - ay^2 + bx - cy = 0.

Aplicación del mapeo inverso a rectas y circunferencias

Resumen de la sección: En esta sección, se concluye que aplicando el mapeo inverso a una recta o una circunferencia utilizando la ley general encontrada, obtendremos una nueva ecuación en el plano w.

Resultados del mapeo inverso

• Al aplicar el mapeo inverso a una recta o una circunferencia utilizando la ley general encontrada, obtendremos una nueva ecuación en el plano w.

• Esta nueva ecuación nos permite mapear diferentes elementos y obtener resultados distintos en el plano w.

Circunferencia

Resumen de la sección: En esta sección, se introduce el concepto de mapeo inverso aplicado a rectas y circunferencias. Se explica cómo una recta puede ser mapeada en otra recta o en una circunferencia, y cómo una circunferencia puede ser mapeada en una recta o en otra circunferencia.

Mapeo inverso aplicado a rectas y circunferencias

• El mapeo inverso puede transformar una recta en otra recta o en una circunferencia.

• Una circunferencia también puede ser transformada en una recta o en otra circunferencia.

• La ventaja del mapeo inverso es que ya sabemos que debemos llegar a una recta o a una circunferencia.

Ejemplo práctico

Resumen de la sección: Se presenta un ejemplo práctico para ilustrar el concepto de mapeo inverso aplicado a rectas y circunferencias.

Ejemplo con dos circunferencias

• Se consideran dos circunferencias: una de radio 1 centrada en el origen y otra de radio 2 centrada en (2, 2).

• La ecuación de la primera circunferencia es x^2 + y^2 - 2^2 = 4.

• La ecuación de la segunda circunferencia es x^2 + y^2 = 4.

• El objetivo es mapear la región entre las dos circunferencias.

Mapeo de las circunferencias

Resumen de la sección: Se analiza el mapeo de las circunferencias y se concluye que la circunferencia pequeña se mapeará en otra circunferencia.

Análisis del mapeo

• Todos los puntos sobre la circunferencia pequeña están a la misma distancia del origen.

• El mapeo inverso invierte las distancias, por lo que la circunferencia pequeña se mapeará en otra circunferencia.

• La nueva circunferencia tendrá el mismo radio que la original.

Puntos frontera

Resumen de la sección: Se analizan los puntos frontera de las dos circunferencias y su mapeo.

Puntos frontera y región mapeada

• Se identifican dos puntos frontera, r y t, que son los puntos de intersección de las dos circunferencias.

• Primero se mapearán los bordes de las circunferencias y luego se determinará la forma de la región mapeada.

• La región entre las dos circunferencias será una nueva región limitada por rectas y/o otras circunferencias.

Análisis de la circunferencia unitaria en el plano w

Resumen de la sección: En esta sección, se analiza cómo se transforma la circunferencia unitaria en el plano w a través de un análisis analítico.

Transformación analítica de la circunferencia unitaria

• La ecuación de la circunferencia es x^2 + y^2 = 1.

• Para aplicar la fórmula de transformación, igualamos esta ecuación a cero: x^2 - y^2 - 1 = 0.

• Las constantes a, b y c son 1, 0 y -1 respectivamente.

• Aplicando la fórmula, obtenemos que (x^2 - y^2 - 1) / (x^2 + y^2) = 1.

• Simplificando, llegamos a que x^2 / (x^2 + y^2) = 1.

• Por lo tanto, demostramos que la circunferencia unitaria se transforma en una recta horizontal con ecuación x = -1.

Transformación de la circunferencia naranja

Resumen de la sección: En esta sección, se estudia cómo se transforma una circunferencia naranja específica en el plano w.

Transformación analítica de la circunferencia naranja

• La ecuación general para la circunferencia naranja es x^2 + y^2 - 4y = 4.

• Simplificando esta ecuación, obtenemos x^2 + y^2 - 4y - 4 = 0.

• Las constantes a, b y c son 1, -4 y -4 respectivamente.

• Aplicando la fórmula de transformación, encontramos que (x^2 + y^2 - 4y - 4) / (x^2 + y^2) = 1.

• Simplificando, llegamos a que x^2 / (x^2 + y^2) = 1/4.

• Por lo tanto, la circunferencia naranja se transforma en una recta paralela al eje x con ecuación y = -1/4.

Delimitación de las regiones en el plano w

Resumen de la sección: En esta sección, se discute cómo delimitar las regiones finitas en el plano w.

Puntos frontera entre las regiones

• Para determinar los puntos frontera entre las regiones finitas, debemos encontrar la intersección de la circunferencia y la recta.

• Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por ambas ecuaciones obtenemos los puntos frontera.

Determinación de las regiones finitas

Resumen de la sección: En esta sección, se decide qué región será finita en el plano w.

Encontrar los puntos frontera

• Al igualar las ecuaciones de la circunferencia y la recta, podemos encontrar los puntos frontera entre las dos regiones finitas definidas por ellas.

Resolución del sistema de ecuaciones

Resumen de la sección: En esta sección, se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los puntos frontera.

Resolución del sistema de ecuaciones

• Al resolver el sistema formado por las ecuaciones de la circunferencia y la recta, encontramos los puntos frontera entre las regiones finitas.

Gráfico simétrico y valores de x

Resumen de la sección: En esta sección, se analiza el gráfico simétrico y se encuentran los valores de x.

Gráfico simétrico

• El gráfico es simétrico.

• Se necesita encontrar los valores de x.

Valores de x

• Despejando x en la circunferencia pequeña, se obtiene que x^2 = 1 - 1/4.

• Simplificando, se tiene que x^2 = 15/16.

• Por lo tanto, los valores de x son más/menos raíz de 15 sobre raíz de 16, que es igual a 4.

Coordenadas

• Las coordenadas del punto r son (-raíz de 15/4, 1/4).

• Las coordenadas del otro punto son (raíz de 15/4, 1/4).

Mapeo y verificación

Resumen de la sección: Se realiza un análisis previo para verificar el mapeo realizado hasta ahora.

Verificación del mapeo

• Se procede a mapear los puntos obtenidos anteriormente.

• Se verifica si el mapeo realizado hasta ahora está correcto.

Cálculo del punto t prima

Resumen de la sección: Se calcula el punto t prima utilizando las coordenadas cartesianas.

Cálculo del punto t prima

• El punto t en coordenadas cartesianas es (raíz de 15 sobre 4 + 1/4, técnico).

• Para obtener t prima, se realiza la operación 1 / (raíz de 15 sobre 4 + 1/4).

• Simplificando, se obtiene que t prima es igual a (4 raíz de 15 - 4y) / (16 - y^2).

Coordenadas de t prima

Resumen de la sección: Se calculan las coordenadas del punto t prima.

Coordenadas de t prima

• Las coordenadas de t prima son (4, raíz de 15 sobre 4 - 1/4).

Ángulos y mapeo inverso

Resumen de la sección: Se utiliza el análisis de los ángulos para determinar el mapeo inverso.

Análisis de los ángulos

• El ángulo formado por el vector del punto t es θ.

• El mapeado inverso invierte los ángulos.

• Por lo tanto, el punto r tiene un ángulo entre 90 y 180 pero negativo en su mapeado r prima.

Región final y puntos frontera

Resumen de la sección: Se determina la región final y se analizan los puntos frontera.

Región final

• La región final está ubicada entre el cuarto y tercer cuadrante dentro de la circunferencia unitaria y por debajo de la recta x = -1/4.

Puntos frontera

• Los puntos frontera rsf en la circunferencia unitaria se mapean en los puntos reprima, deprima y deprima prima, que también están sobre la circunferencia unitaria.

Punto ce y mapeo

Resumen de la sección: Se analiza el punto ce y su mapeo.

Punto ce

• El punto ce está a 4 unidades del origen.

• En el mapeo, se encuentra a un cuarto de unidad y con un ángulo de -90 grados.

• Por lo tanto, el punto ce se mapea a (0, -1/4).

Distancia al origen

Resumen de la sección: Se analiza la distancia al origen en el plano doble.

Distancia al origen

• El punto s es el más lejano al origen en el plano z.

• Su mapeado s prima es el más cercano al origen en el plano doble.

Mapeo de regiones en el plano z y w

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo las regiones en el plano z se mapean al plano w. Las regiones más lejanas al origen en el plano z pasan a estar más cerca del origen en el plano w, mientras que las regiones más cercanas al origen en el plano z se alejan más en el plano w. Se discute la región específica que se está buscando y se concluye que es una región infinita.

Región verde entre dos circunferencias

• La región rayada en verde representa la intersección entre una circunferencia pequeña y una circunferencia grande.

• Esta región se mapea a una región infinita debido a que contiene al origen.

• Se marca otra circunferencia naranja y otra circunferencia azul para explorar diferentes posibilidades de mapeo.

Mapeo de la región celeste

• La región celeste, externa a la circunferencia naranja pero interna a la circunferencia azul, también se mapea a una región infinita debido a que contiene al origen.

• Se verifica este mapeo utilizando un punto específico llamado "punto es".

Región blanca sin mapeo aparente

• La región blanca por encima de la recta y dentro de la circunferencia azul corresponde a una parte del plano sexto.

• Esta región se mapea a una porción finita marcada en color naranja.

Pregunta adicional y conclusiones

Resumen de la sección: Se plantea una pregunta adicional sobre una región en blanco en el plano w. Se concluye que esta región también se mapea a una región infinita que contiene al origen.

Región en blanco en el plano w

• La región en blanco, por encima de la recta y dentro de la circunferencia azul, se mapea a una región infinita externa a las dos circunferencias.

• Esta región es parte del plano sexto y contiene al infinito.

Resumen final

Resumen de la sección: Se realiza un resumen final de los diferentes mapeos de regiones en los planos z y w. Se destaca que las regiones más lejanas al origen en el plano z tienden a acercarse al origen en el plano w, mientras que las regiones más cercanas al origen en el plano z tienden a alejarse más en el plano w. También se enfatiza que las regiones que contienen al origen se mapean a regiones infinitas.

Conclusiones finales

• Las regiones entre dos circunferencias pueden ser mapeadas tanto a regiones finitas como infinitas dependiendo de si contienen o no al origen.

• Las fronteras de las regiones siempre son cerradas.

• El mapeo entre los planos z y w implica cambios significativos en la ubicación y forma de las regiones.

• Es importante considerar si un punto es frontera o interior para determinar su mapeo correcto.

Repaso de conceptos

Resumen de la sección: En esta sección, el instructor invita a los estudiantes a plantear cualquier duda o pregunta sobre los conceptos presentados hasta ahora. También menciona que es importante comprender y aceptar ciertas cuestiones desafiantes en relación a la lógica y el sentido común en el estudio de circuitos eléctricos.

• El instructor pregunta si hay algo que los estudiantes quieran revisar nuevamente o si hay alguna duda sobre lo explicado hasta ahora.

• Se menciona que algunas cuestiones desafiantes incluyen la idea de que una región infinita del plano puede caber dentro de una porción finita, y viceversa.

• Se invita a los estudiantes a plantear cualquier pregunta relacionada con el mapeo inverso.

• El instructor propone pasar directamente al análisis de un circuito serie con resistencia, bobina e inductor, y capacitor.

• Se mencionan los valores de resistencia (R), inductancia (L) y capacidad (C) del circuito.

• Se recuerda cómo calcular la impedancia total o equivalente en un circuito serie utilizando las reactancias inductiva (XL) y capacitiva (XC).

• Se explica que las reactancias se miden en ohmios igual que la resistencia.

• Se menciona el desfasaje entre tensión y corriente en un circuito serie: en una resistencia están en fase, en un inductor la tensión adelanta 90 grados y en un capacitor la corriente adelanta 90 grados.

• Se muestra cómo el desfasaje entre XL y XC determina el ángulo de desfasaje (theta) de la corriente en el circuito.

• Se explica que si XL es mayor que XC, el circuito es inductivo, mientras que si XC es mayor que XL, el circuito es capacitivo.

• Se describe cómo se representa la impedancia total como un número complejo con una componente real (resistencia) y una componente imaginaria (suma algebraica de las reactancias).

• Se muestra cómo graficar la impedancia en un plano cartesiano con ejes reales e imaginarios.

• Se explica cómo interpretar los vectores de impedancia según su módulo y ángulo theta.

• Se menciona que el análisis del circuito puede ser inductivo o capacitivo dependiendo de qué reactancia sea mayor.

• Se enfatiza que la impedancia total se compone de una parte real (resistencia) y una parte imaginaria (reactancias).

• Se muestra la expresión matemática para calcular la impedancia total utilizando resistencia, reactancias inductiva y capacitiva.

• El instructor pregunta a los estudiantes si recuerdan cómo se llama una ley importante relacionada con estos conceptos.

• Los estudiantes responden correctamente: "ley de Ohm".

• Se explica cómo la ley de Ohm establece que la tensión es igual al producto de la corriente por la impedancia en cada instante.

• Se muestra cómo despejar la intensidad de corriente utilizando la fórmula I = V/Z.

Ley de Ohm y cálculo de corriente

Resumen de la sección: En esta sección, se repasa brevemente la ley de Ohm y se muestra cómo calcular la corriente en un circuito utilizando esta ley.

• El instructor pregunta a los estudiantes si recuerdan cómo se llama una ley importante relacionada con estos conceptos.

• Los estudiantes responden correctamente: "ley de Ohm".

• Se explica cómo la ley de Ohm establece que la tensión es igual al producto de la corriente por la impedancia en cada instante.

• Se muestra cómo despejar la intensidad de corriente utilizando la fórmula I = V/Z.

Lugar geométrico de la admitancia y expresión analítica

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo encontrar el lugar geométrico y la expresión analítica de la admitancia en un circuito. Se utiliza el concepto de mapeo inverso puro para realizar este análisis.

Lugar geométrico de la impedancia y admitancia

• La admitancia (cya) es la inversa de la impedancia.

• La admitancia tiene una componente real (conductancia) y una componente imaginaria (susceptancia).

• El lugar geométrico de la impedancia se representa en el plano z, donde el eje x es la conductancia y el eje y es la susceptancia.

• El lugar geométrico de la admitancia se representa en el plano w a través del mapeo inverso.

Mapeo inverso puro

• Si todos los parámetros del circuito son constantes, entonces la impedancia es un vector constante con un módulo fijo y un ángulo determinado.

• Aplicando el mapeo inverso puro, se invierte la distancia con respecto al origen y se cambia el signo del argumento.

• La admitancia resultante tendrá un módulo igual a 1 dividido por el módulo de la impedancia original, pero con el mismo ángulo pero con signo contrario.

Lugar geométrico de bajas

• El lugar geométrico de bajas representa la ubicación geométrica de la impedancia en función del valor variable de algún parámetro (por ejemplo, resistencia).

• Si consideramos que solo varía la resistencia, el lugar geométrico de la impedancia será un segmento de recta en el plano z.

• El extremo A del segmento representa la mínima impedancia y el extremo B representa la máxima impedancia.

Lugar geométrico de la admitancia

• La admitancia se obtiene aplicando el mapeo inverso a la impedancia.

• El lugar geométrico de la admitancia se puede escribir como una recta horizontal en el plano w, donde cada punto en esa recta corresponde a un valor diferente del parámetro variable (resistencia).

• La admitancia varía desde un mínimo hasta un máximo a medida que cambia el valor del parámetro variable.

Caso con parámetros variables

Resumen de la sección: En esta sección, se explora qué sucede cuando uno o más parámetros del circuito son variables. Se analiza específicamente el caso en que la resistencia varía.

Lugar geométrico de la impedancia con resistencia variable

• Si consideramos que solo varía la resistencia, el lugar geométrico de la impedancia será un segmento de recta horizontal en el plano z.

• El extremo A del segmento representa la mínima impedancia y el extremo B representa la máxima impedancia.

• La longitud del segmento depende del rango de valores posibles para la resistencia.

Lugar geométrico de la admitancia con resistencia variable

• Para obtener el lugar geométrico de la admitancia, se aplica el mapeo inverso a cada punto en el lugar geométrico de la impedancia.

• El resultado es una recta horizontal en el plano w, donde cada punto en esa recta corresponde a un valor diferente del parámetro variable (resistencia).

• La admitancia varía desde un mínimo hasta un máximo a medida que cambia el valor de la resistencia.

Conclusiones

Resumen de la sección: En esta sección, se presentan las conclusiones finales sobre el lugar geométrico de la admitancia y la expresión analítica.

Lugar geométrico de la admitancia

• El lugar geométrico de la admitancia se obtiene aplicando el mapeo inverso puro a cada punto en el lugar geométrico de la impedancia.

• Se representa como una recta horizontal en el plano w, donde cada punto corresponde a un valor diferente del parámetro variable (resistencia).

• La admitancia varía desde un mínimo hasta un máximo a medida que cambia el valor del parámetro variable.

Expresión analítica

• La expresión analítica para la impedancia y admitancia depende de los valores específicos de los parámetros del circuito.

• En casos con parámetros constantes, las expresiones son algebraicas y representan puntos o segmentos en los planos z y w.

• En casos con parámetros variables, las expresiones son más complejas y requieren considerar diferentes valores posibles para los parámetros.

Ecuación de la circunferencia

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo obtener la ecuación de una circunferencia a partir de una ecuación lineal. Se muestra el proceso paso a paso y se analiza el significado geométrico de los términos en la ecuación.

Obtención de la ecuación de la circunferencia

• La ecuación lineal en la variable x tiene un coeficiente i y un término independiente.

• Aplicando ciertas transformaciones algebraicas, se obtiene una ecuación cuadrática.

• Completando el cuadrado, se puede ubicar el centro y el radio de la circunferencia.

• La circunferencia resultante representa el mapeo del segmento completo de recta.

Puntos frontera sobre la circunferencia

Resumen de la sección: En esta parte, se explica cómo encontrar los puntos frontera sobre una circunferencia que representa el mapeo del segmento completo de recta. Se utiliza un enfoque gráfico para determinar las ubicaciones exactas.

Ubicación de los puntos frontera

• El punto A tiene un ángulo de 90 grados y un módulo xt.

• Invertiendo el argumento, se encuentra que A está sobre el eje imaginario negativo.

• La distancia al origen es 1/x.

• El punto A' es el extremo inferior de las circunferencias y está ubicado a -1/xt con un ángulo de -90 grados.

Lugar geométrico de la admitancia

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo encontrar el lugar geométrico de la admitancia en el diagrama complejo. Se utiliza un enfoque gráfico y se muestra cómo este lugar coincide con el arco de circunferencia A'.

Lugar geométrico de la admitancia

• El arco de circunferencia A' representa el lugar geométrico de la admitancia.

• Este arco es el mapeo del segmento AB en el diagrama complejo.

Relación entre corriente y admitancia

Resumen de la sección: En esta parte, se analiza la relación entre la corriente y la admitancia en un circuito. Se muestra cómo los ángulos y las magnitudes están relacionados y cómo esto afecta a los diagramas correspondientes.

Relación entre corriente y admitancia

• Según la ley de Ohm, la corriente es igual a b por 1/z.

• Si suponemos que la tensión de alimentación es constante (b sub 0), entonces podemos expresarla como b sub 0 cis(0).

• La corriente resultante tiene un ángulo de fase igual al ángulo de fase de la admitancia.

• El diagrama complejo para ambos coincide en términos del desfasaje o fase.

Diagrama complejo y desfasaje

Resumen de la sección: En esta parte final, se discute cómo el diagrama complejo refleja el desfasaje o fase entre la corriente y la admitancia. Se muestra cómo los ángulos se suman y cómo esto afecta a las magnitudes.

Diagrama complejo y desfasaje

• El diagrama de admitancia coincide con el de corriente en términos del desfasaje o fase.

• Si la tensión de alimentación es constante (b sub 0), entonces el diagrama de admitancia es proporcional al de corriente, salvo una escala que depende del valor de b sub 0.

• Los ángulos se suman, pero como el ángulo de referencia es 0, el desfasaje coincide exactamente entre ambos diagramas.

Impedancia y Admitancia en Circuitos

Resumen de la sección: En esta sección, se discute sobre la impedancia y admitancia en circuitos eléctricos. Se explica cómo el diagrama de admitancia puede utilizarse para encontrar gráficamente la corriente máxima y mínima con sus respectivos desfases.

Impedancia y Admitancia

• La impedancia es representada por un vector en un diagrama de impedancias.

• El módulo de la intensidad de corriente se obtiene multiplicando el vector de admitancia por una constante.

• El ángulo del vector de admitancia coincide con el ángulo de desfase entre la corriente y la tensión en un circuito inductivo.

• El diagrama de admitancia tiene doble uso: ubicar geométricamente la admitancia del circuito y representar las corrientes de intensidad.

Diagrama de Admitancia

• En el diagrama, el punto A representa la impedancia misma, siendo el más cercano al origen.

• El punto B representa la impedancia máxima, correspondiendo a la mínima admitancia y a la intensidad mínima de corriente.

Corriente Máxima y Mínima

• La posición del vector A' indica la corriente máxima, ya que en ese punto no hay componentes resistivas.

• La posición del vector B' indica la corriente mínima, correspondiendo a la máxima admitancia.

Uso del Diagrama de Admitancias

Resumen de la sección: En esta sección, se explora cómo el diagrama de admitancias se utiliza para encontrar gráficamente la corriente máxima y mínima con sus desfases en un circuito inductivo.

Uso del Diagrama de Admitancias

• El diagrama de admitancias permite ubicar geométricamente la admitancia del circuito.

• También se utiliza como un diagrama de corrientes de intensidad, representando la corriente máxima y mínima con sus respectivos desfases.

Consultas y Aclaraciones Finales

Resumen de la sección: En esta sección final, se responden consultas y aclaraciones sobre el tema discutido. Se menciona que el término correcto para un componente variable en este contexto es "resistor variable".

Consultas y Aclaraciones

• Se responde una consulta sobre el término correcto para un componente variable en este contexto, indicando que sería "resistor variable".

• Se menciona que también podría utilizarse el término "potenciómetro" dependiendo del contexto.

• Se aclara que en los gráficos siempre se utilizan flechas para representar los componentes.

Este resumen cubre los puntos principales discutidos en el video, utilizando las marcas de tiempo proporcionadas.