Discrete Fourier Transform (DFT) Explained | MATLAB examples

¿Qué es la Transformada Discreta de Fourier?

Introducción a la DFT y IDFT

• La Transformada Discreta de Fourier (DFT) transforma señales del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, revelando sus componentes ocultos.

• Se presentará un ejemplo práctico en MATLAB para visualizar la DFT en acción.

Fundamentos de la Transformada de Fourier

• La Transformada de Fourier permite identificar las frecuencias presentes en una señal. Un ejemplo muestra una onda sinusoidal a 5 Hz con un pico claro en el dominio de frecuencia.

• En señales más complejas, como una suma de múltiples ondas sinusoidales, la DFT ayuda a descomponerlas y revela picos claros en 5 Hz y 8 Hz.

Definición y Funcionamiento de la DFT

• La DFT opera sobre datos digitales (muestreados), realizando transformaciones similares a las vistas anteriormente pero con datos discretos.

• El algoritmo Fast Fourier Transform (FFT) calcula la DFT más eficientemente, reduciendo la complejidad computacional.

Proceso Matemático detrás de la DFT

• La ecuación de la DFT se centra en términos cosenoides; cada valor k genera muestras para diferentes frecuencias.

• Multiplicamos el vector completo del tiempo por una matriz transformadora para obtener el espectro que indica las frecuencias presentes.

Espectro y Componentes Complejos

• El espectro se representa mediante números complejos: parte real (cosenoides) y parte imaginaria (sinusoides).

• Utilizando matrices complejas, podemos calcular todo el espectro en un solo paso mediante multiplicación matricial.

¿Cómo funciona la Inversa de la DFT?

Reconstrucción del Señal Original

• Conociendo el espectro, podemos reconstruir el señal original sumando los componentes escalados por sus amplitudes correspondientes.

• Se ilustra cómo crear matrices para las partes cosenoide y senoide, multiplicándolas por el espectro para recrear el señal original.

Ecuaciones Fundamentales

• Las ecuaciones que definen estas transformaciones son adaptadas al digitalizar señales; se utilizan sumas en lugar de integrales.

• Se presentan dos formas equivalentes para expresar la DFT: representación exponencial y representaciones seno-coseno, útiles en diversas aplicaciones.

Implementación de DFT en MATLAB

Generación de la matriz de análisis DFT

• En la primera parte, se genera la matriz de análisis DFT con un tamaño de 100 por 100, correspondiente a la frecuencia de muestreo. Se utiliza la forma exponencial donde:

• La parte real representa la base coseno.

• La parte imaginaria representa la base seno de la transformación.

Visualización de las partes real e imaginaria

• Se grafican las primeras cuatro filas de la matriz, mostrando por separado las partes real e imaginaria. Los gráficos confirman que:

• La parte real consiste en ondas coseno con frecuencias crecientes.

• La parte imaginaria consiste en ondas seno.

Cálculo del espectro del señal

• Se calcula el espectro del señal multiplicando el vector del señal con la matriz de transformación DFT. También se utiliza:

• La función fft de MATLAB para calcular el espectro y comparar resultados.

• Las frecuencias positivas están en la primera parte del vector espectral y las negativas en la segunda. Para alinear correctamente:

• Se usa fftshift, que reposiciona simétricamente las frecuencias alrededor de cero.

Visualización y verificación del espectro

• Al visualizar el espectro, se observa un pico claro a 5 Hz, confirmando su presencia en el señal. Además:

• Aparece un segundo pico a -5 Hz debido a que el espectro es simétrico alrededor de cero.

• El espectro calculado con fft coincide perfectamente con los resultados anteriores, validando ambos métodos.

Reconstrucción del señal original

• En esta sección final, se intenta reconstruir el señal original desde su espectro usando IDFT (Transformada Inversa DFT):

• Primero se calcula la matriz IDFT transponiendo la matriz DFT para alinear correctamente las ondas seno y coseno.

• Finalmente, se recrea el señal original mediante multiplicación matricial y se verifica:

• El error de reconstrucción es cercano a cero, lo que demuestra que IDFT restaura exitosamente los datos originales.