Espaces vectoriels - partie 5 : sous-espace vectoriel (fin)

Somme de Sous-espaces Vectoriels

Introduction à la Somme de Sous-espaces

• La discussion débute sur la définition de la somme de deux sous-espaces vectoriels, une notion essentielle pour comprendre les sous-espaces supplémentaires.

Propriétés des Sous-espaces Vectoriels

• Il est noté que la somme de deux sous-espaces vectoriels F et G n'est pas toujours un sous-espace vectoriel. Il est crucial d'identifier les sous-espaces qui contiennent à la fois F et G .

Définition Formelle de la Somme

• La somme des sous-espaces vectoriels F et G , notée F + G , est définie comme l'ensemble des vecteurs formés par l'addition d'un élément de F et d'un élément de G .

Caractéristiques Importantes

• Deux propriétés fondamentales sont mises en avant :

• La somme F + G est un sous-espace vectoriel de l'espace ambiant.

• C'est le plus petit sous-espace contenant à la fois F et G .

Exemple Illustratif dans R³

• Un exemple concret est donné avec les sous-ensembles définis dans l'espace tridimensionnel, où chaque ensemble a ses propres contraintes sur les coordonnées.

Conditions pour une Somme Directe

Définition d'une Somme Directe

• On définit que deux sous-espaces vectoriels sont en somme directe si :

1. Leur intersection ne contient que le vecteur nul.

2. Leur somme couvre tout l'espace considéré.

Importance des Sous-Espaces Supplémentaires

• Les sous-espaces supplémentaires permettent une décomposition unique, ce qui signifie qu'un élément peut être exprimé comme une somme unique d'éléments provenant chacun d'un des deux espaces.

Vérification dans R²

Exemples Pratiques dans R²

• Pour vérifier si deux espaces sont en somme directe, il faut démontrer que leur intersection est réduite au vecteur nul et que leur somme constitue tout l'espace.

Conclusion sur les Espaces Supplémentaires

Démonstration de la somme directe dans R³

Décomposition d'un vecteur dans R³

• La démonstration commence par montrer que la somme des sous-espaces F et G est égale à R³. On considère un vecteur u avec des coordonnées (x, y, z) .

• Pour cela, il faut trouver un vecteur V in F et un vecteur W in G tels que u = V + W . Les formes de ces vecteurs sont spécifiées.

Propriétés des sous-espaces vectoriels

• On introduit les sous-espaces vectoriels P (fonctions paires) et T (fonctions impaires), en prouvant qu'ils forment une somme directe.

• L'intersection de P et T est calculée, montrant que toute fonction qui est à la fois paire et impaire doit être identiquement nulle.

Construction de fonctions paires et impaires

• Pour toute fonction f , on démontre qu'elle peut s'écrire comme la somme d'une fonction paire g et d'une fonction impaire h .

• Les définitions de ces fonctions sont données, établissant ainsi que P et I forment une somme directe.

Sous-espace engendré par des vecteurs

Définition du sous-espace engendré

• Un ensemble fini de vecteurs dans un espace vectoriel E génère un sous-espace vectoriel noté textvect(V_1, V_2, ..., V_n) .

• Ce sous-espace est le plus petit contenant tous les vecteurs donnés.

Inclusion des sous-espaces

• Si un autre sous-espace contient les mêmes vecteurs, alors il inclut le sous-espace engendré. Cela illustre l'importance de la notion d'engendrement.

Exemples explicites d'espaces vectoriels

Cas particulier avec deux vecteurs

• En prenant deux vecteurs U et V non colinéaires dans R³, on définit leur plan vectoriel.

Équations paramétriques du plan

• L'équation paramétrique pour le plan formé par U et V est établie à partir des coordonnées respectives.

Fonctions polynômes comme espaces vectoriels

Sous-espace des fonctions polynomiales