EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 1): Bhaskara e Soma e Produto | Matemática Básica - Aula 16

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Uploaded: 2018-09-11T13:04:17.000Z
Duration: 54 min 56 s

Introdução ao Curso de Matemática Básica

Visão Geral da Seção: Nesta seção introdutória, o professor apresenta o assunto a ser abordado no curso de matemática básica - equação do segundo grau. Ele destaca a importância desse tópico e como ele é frequentemente cobrado em provas como o ENEM e vestibulares tradicionais.

Definição da Equação do Segundo Grau

A equação do segundo grau é definida como uma equação na forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais.

O coeficiente "a" não pode ser igual a zero, pois isso resultaria em uma equação do primeiro grau.

Os coeficientes "a", "b" e "c" pertencem ao conjunto dos números reais.

Identificação dos Coeficientes

O coeficiente "a" é o valor que multiplica x² na equação.

O coeficiente "b" é o valor que multiplica x na equação.

O coeficiente "c" é o termo independente da equação.

Equações do Segundo Grau Incompletas

Em algumas situações, um ou mais dos coeficientes podem ser iguais a zero, resultando em uma equação incompleta.

São apresentados exemplos de equações incompletas com diferentes combinações de valores para os coeficientes.

Raízes de uma Equação do Segundo Grau

Uma equação do segundo grau pode ter no máximo duas raízes.

A fórmula de Bhaskara é utilizada para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau.

A fórmula utiliza o discriminante (delta) para determinar se a equação possui raízes reais ou complexas.

Utilização da Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é: x = (-b ± √(delta)) / 2a, onde delta = b² - 4ac.

Os coeficientes "a", "b" e "c" são substituídos na fórmula para encontrar as raízes da equação.

Exemplo Prático

Visão Geral da Seção: Nesta seção, um exemplo prático é apresentado para demonstrar como utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau.

Exemplo de Equação do Segundo Grau

É apresentada uma equação do segundo grau específica.

Os coeficientes "a", "b" e "c" são identificados.

A fórmula de Bhaskara é aplicada passo a passo para calcular as duas raízes da equação.

Conclusão

Visão Geral da Seção: O professor conclui a aula reforçando os conceitos aprendidos sobre a equação do segundo grau e sua resolução utilizando a fórmula de Bhaskara. Ele destaca a importância desse conhecimento para resolver problemas matemáticos mais avançados e em provas acadêmicas.

Resolvendo uma equação de segundo grau completa

Visão geral da seção: Nesta seção, o professor explica como resolver uma equação de segundo grau completa usando a fórmula de Bhaskara.

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é usada para encontrar as raízes de uma equação quadrática.

A fórmula é dada por x = (-b ± √Δ) / (2a), onde Δ representa o discriminante da equação.

Passos para resolver a equação

Calcule o valor do discriminante Δ, que é dado por Δ = b² - 4ac.

Substitua os valores na fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √Δ) / (2a).

Simplifique a expressão e encontre os valores das raízes.

Exemplo prático

Dada a equação 2x² - 9x + 5 = 0:

Identifique os coeficientes: a = 2, b = -9 e c = 5.

Calcule o discriminante Δ: Δ = (-9)² - 4(2)(5) = 81 - 40 = 41.

Substitua os valores na fórmula de Bhaskara:

x₁ = (-(-9) + √41) / (2 * 2) ≈ (9 + √41)/4

x₂ = (-(-9) - √41) / (2 * 2) ≈ (9 - √41)/4

Portanto, as raízes da equação são aproximadamente x₁ ≈ (9 + √41)/4 e x₂ ≈ (9 - √41)/4.

Resolvendo uma equação de segundo grau incompleta

Visão geral da seção: Nesta seção, o professor explica como resolver uma equação de segundo grau incompleta quando um dos coeficientes é igual a zero.

Equações de segundo grau incompletas

Equações de segundo grau incompletas são aquelas em que um dos coeficientes (a, b ou c) é igual a zero.

Existem dois casos possíveis: quando b = 0 ou quando c = 0.

Caso 1: b = 0

Quando o coeficiente b é igual a zero, podemos simplificar a equação e resolver diretamente.

Exemplo: x² - 12 = 0

Isolamos o termo com x ao quadrado: x² = 12

Aplicamos a raiz quadrada em ambos os lados: x = ±√12

Simplificando a raiz quadrada de 12, obtemos as soluções aproximadas x₁ ≈ √12 e x₂ ≈ -√12.

Caso 2: c = 0

Quando o coeficiente c é igual a zero, também podemos simplificar a equação e resolver diretamente.

Exemplo: 3x² + 6x = 0

Fatoramos o termo comum x: x(3x + 6) = 0

Temos duas soluções possíveis:

Solução 1: x = 0

Solução 2: 3x + 6 = 0 → 3x = -6 → x = -2

Faturando uma equação de segundo grau

Visão geral da seção: Nesta seção, o professor explica como fatorar uma equação de segundo grau para facilitar a resolução.

Faturando uma equação de segundo grau

Fatorar uma equação de segundo grau envolve colocar em evidência os termos comuns.

Exemplo: x² - 4x + 4 = 0

Identificamos os coeficientes: a = 1, b = -4 e c = 4.

Colocamos em evidência o termo comum x: x² - (2x)(2) + (2)² = 0

Simplificamos a expressão fatorada: (x - 2)² = 0

Encontramos a solução única x = 2.

Importância da fatoração

A fatoração pode simplificar a equação e facilitar sua resolução.

Em alguns casos, a fatoração revela soluções únicas ou padrões que podem ser explorados.

Resolvendo equações de segundo grau incompletas por identificação dos coeficientes

Visão geral da seção: Nesta seção, o professor explica como resolver equações de segundo grau incompletas identificando os coeficientes corretamente.

Equações de segundo grau incompletas

Equações de segundo grau incompletas são aquelas em que um dos coeficientes (a, b ou c) é igual a zero.

Podemos resolver essas equações identificando os coeficientes corretamente.

Exemplo prático

Dada a equação 4x² - 6x = 0:

Identificamos os coeficientes: a = 4 e b = -6.

Colocamos em evidência o termo comum x: x(4x - 6) = 0

Temos duas soluções possíveis:

Solução 1: x = 0

Solução 2: 4x - 6 = 0 → 4x = 6 → x ≈ 1.5

Resolvendo equações de segundo grau incompletas por fatoração

Visão geral da seção: Nesta seção, o professor explica como resolver equações de segundo grau incompletas usando o método da fatoração.

Equações de segundo grau incompletas

Equações de segundo grau incompletas são aquelas em que um dos coeficientes (a, b ou c) é igual a zero.

Podemos resolver essas equações utilizando o método da fatoração.

Exemplo prático

Dada a equação x² + x = 0:

Identificamos os coeficientes: a = 1 e b = 1.

Equação do Segundo Grau

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o professor explica como resolver equações do segundo grau e discute o discriminante.

Resolvendo Equações do Segundo Grau

Se um dos coeficientes da equação for igual a zero, podemos encontrar a solução facilmente.

Quando o discriminante é maior que zero, a equação possui duas raízes reais e diferentes.

Quando o discriminante é igual a zero, a equação possui duas raízes reais e iguais.

Quando o discriminante é menor que zero, a equação não possui raízes reais.

O Discriminante

O discriminante é calculado por b² - 4ac.

O discriminante pode ser positivo (> 0), igual a zero (= 0) ou negativo (< 0).

Se o discriminante for positivo, a equação possui duas raízes reais e diferentes.

Se o discriminante for igual a zero, a equação possui duas raízes reais e iguais.

Se o discriminante for negativo, a equação não possui raízes reais.

Exemplos

Exemplo 1: Delta Igual a Zero

Coeficientes: a = 4, b = -14

Delta = (-14)^2 - 4 * 4 * (-1)

Delta = 16

Raízes: x1 = -b / (2a) = 14 / 8 = 7/4

Ambas as raízes são reais e iguais a 7/4.

Exemplo 2: Delta Maior que Zero

Coeficientes: a = 1, b = -5, c = 6

Delta = (-5)^2 - 4 * 1 * 6

Delta = 1

Raízes: x1 = (-b + √delta) / (2a) = (5 + √1) / (2 * 1) = (5 + 1) / 2 = 3

x2 = (-b - √delta) / (2a) = (5 - √1) / (2 * 1) = (5 - 1) / 2 = 2

Ambas as raízes são reais e diferentes, sendo x1 igual a três e x2 igual a dois.

Discriminante e Raízes

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o professor continua discutindo o discriminante e suas relações com as raízes das equações do segundo grau.

Relação entre Discriminante e Raízes

Quando o discriminante é maior que zero, a equação possui duas raízes reais e diferentes.

Quando o discriminante é igual a zero, a equação possui duas raízes reais e iguais.

Quando o discriminante é menor que zero, a equação não possui raízes reais.

Exemplos

Exemplo 1: Delta Igual a Zero

Coeficientes: a = -4, b = 0

Delta = (0)^2 - 4 * (-4) * 1

Delta = 16

Raízes: x1 = -b / (2a) = 0 / (-8) = 0

Ambas as raízes são reais e iguais a zero.

Exemplo 2: Delta Menor que Zero

Coeficientes: a = 3, b = -6, c = 5

Delta = (-6)^2 - 4 * 3 * 5

Delta = -84

A equação não possui raízes reais.

Equação do Segundo Grau

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o professor explica como resolver equações do segundo grau e discute o discriminante.

Resolvendo Equações do Segundo Grau

Se um dos coeficientes da equação for igual a zero, podemos encontrar a solução facilmente.

Quando o discriminante é maior que zero, a equação possui duas raízes reais e diferentes.

Quando o discriminante é igual a zero, a equação possui duas raízes reais e iguais.

Quando o discriminante é menor que zero, a equação não possui raízes reais.

O Discriminante

O discriminante é calculado por b² - 4ac.

O discriminante pode ser positivo (> 0), igual a zero (= 0) ou negativo (< 0).

Se o discriminante for positivo, a equação possui duas raízes reais e diferentes.

Se o discriminante for igual a zero, a equação possui duas raízes reais e iguais.

Se o discriminante for negativo, a equação não possui raízes reais.

Exemplos

Exemplo 1: Delta Igual a Zero

Coeficientes: a = 4, b = -14

Delta = (-14)^2 - 4 * 4 * (-1)

Delta = 16

Raízes: x1 = -b / (2a) = 14 / 8 = 7/4

Ambas as raízes são reais e iguais a 7/4.

Exemplo 2: Delta Maior que Zero

Coeficientes: a = 1, b = -5, c = 6

Delta = (-5)^2 - 4 * 1 * 6

Delta = 1

Raízes: x1 = (-b + √delta) / (2a) = (5 + √1) / (2 * 1) = (5 + 1) / 2 =3

x2=(-b−√delta)/(2a)=(5−√1)/(2*1)=(5−1)/2=3

Discriminante e Raízes

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o professor continua discutindo o discriminante e suas

Equação do Segundo Grau

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o professor discute a equação do segundo grau e como calcular o discriminante.

Cálculo do Discriminante

O valor de "b" na equação é igual a 2.000 cc.

Calculando o discriminante usando a fórmula Δ = b² - 4ac:

Δ = (2.000)² - 4(22)(3)

Δ = 44² - 4(66)

Δ = 1.936 - 264

Δ = 1.672

Solução da Equação

Usando a fórmula x = (-b ± √Δ) / (2a):

x₁ = (-2.000 + √1.672) / (2 * 22)

x₂ = (-2.000 - √1.672) / (2 * 22)

Simplificando as raízes:

x₁ ≈ (-2000 + √1672) / 44

x₂ ≈ (-2000 - √1672) / 44

Como o discriminante é menor que zero, as raízes não pertencem ao conjunto dos números reais.

A solução para essa equação é o conjunto vazio ou representado por uma bolinha com um traço.

Conclusão e Encerramento

Visão Geral da Seção: Nesta seção final, o professor conclui a aula sobre equações do segundo grau.

A solução para a equação do segundo grau não pertence ao conjunto dos números reais.

Espera-se que a aula tenha sido proveitosa e fornecido uma boa base sobre equações do segundo grau.

Deseja bons estudos aos alunos.

Fim da Aula

Visão Geral da Seção: O professor encerra a aula.

Fim da aula.