Introduzione

Panoramica della sezione: In questa lezione, il professore introduce alcuni esempi di urti tra particelle e parla del problema dello scoppio e dei sistemi che sviluppano energia meccanica. Inoltre, viene introdotta la parte sui momenti della forza e della quantità di moto.

Esempi di urti tra particelle

Panoramica della sezione: Il professore presenta due esempi assimilabili a urti fra due particelle.

Interazione tra corpi simili

• Viene presentato un esempio di interazione fra corpi simili.

• Una piccola massa viene lanciata con velocità av = 0 verso un cuneo di ghiaccio.

• Durante la salita, si verifica uno sviluppo di forze tra la massa piccola e quella grande. Non ci sono attriti, solo reazioni normali.

• La massa grande è tenuta in considerazione ed è molto più grande della massa piccola.

• Le reazioni normali sono interne al sistema costituito dalle due masse.

Problema dello scoppio

• Lo scoppio viene introdotto come un problema poco chiaro nei compiti assegnati agli studenti.

• Verrà approfondito in seguito.

Momenti della forza e quantità di moto

Panoramica della sezione: Il professore introduce la parte sui momenti della forza e della quantità di moto.

Esempio di massa che sale su un cuneo

Panoramica della sezione: Viene presentato un esempio di una massa che viene lanciata con velocità av = 0 verso un cuneo e si chiede fino a che altezza riesce a salire sulla superficie del cuneo.

• Una piccola massa viene lanciata con velocità av = 0 verso un cuneo di ghiaccio.

• La massa grande è tenuta in considerazione ed è molto più grande della massa piccola.

• Le reazioni normali sono interne al sistema costituito dalle due masse.

• Applicando il teorema dell'impulso della variazione della quantità di moto per tutto il sistema, l'impulso delle forze esterne (r piccolo, le grandi e le forze peso delle due masse) è uguale alla variazione della quantità di moto del sistema.

Conservazione della quantità di moto

In questa sezione si discute della conservazione della quantità di moto del sistema e si analizza come le forze esterne influenzano la sua conservazione.

Quantità di moto del sistema

• La quantità di moto del sistema non si conserva in toto, ma solo lungo l'asse dell'ex.

• Le forze esterne in verticale non compaiono lungo l'asse dell'ex, quindi non contribuiscono alla variazione della quantità di moto lungo tale asse.

• Si può applicare un teorema di conservazione parziale della quantità di moto solo lungo l'asse del moto.

Equazione per la conservazione della quantità di moto

• Applicando la conservazione della quantità di moto tra prima e dopo, si ottiene un'equazione che ci permette di calcolare il valore finale.

Analisi dell'energia meccanica

In questa sezione si analizza l'energia meccanica del sistema e come essa viene influenzata dalle forze esterne.

Energia meccanica

• L'esercizio richiede una valutazione dell'energia meccanica complessiva del sistema.

• Non possiamo parlare solo dell'energia cinetica perché c'è anche una variazione dell'energia potenziale dovuta alla salita del corpo.

• Se non ci sono attriti, l'energia meccanica deve rimanere costante.

Calcolo dell'energia meccanica

• L'energia meccanica iniziale è tutta cinetica, mentre quella finale è composta da un termine potenziale dovuto alla salita del corpo e dalla stessa energia cinetica.

Le cinetiche e la conservazione dell'energia meccanica

In questa sezione si parla delle cinetiche e della conservazione dell'energia meccanica. Si spiega come le due masse in movimento abbiano la stessa velocità e come trovare l'altezza massima raggiunta dalla massa.

Cinetiche delle masse

• Ci sono due cinetiche, una per il cuneo che si muove e una per la piccola mazzetta che sembra ferma ma è ferma su una cosa che va.

• Entrambe le masse viaggiano alla stessa velocità.

Conservazione dell'energia meccanica

• Viene introdotta un'altra equazione di conservazione, quella dell'energia meccanica.

• L'unica incognita è quanto riesce a salire questa massa, ovvero l'altezza massima raggiunta.

• La soluzione viene trovata combinando le equazioni di conservazione della quantità di moto e dell'energia meccanica.

Calcolo dell'altezza massima raggiunta

• L'altezza massima raggiunta viene calcolata utilizzando l'equazione h = v0^2 / 2g(mpiccolo + mgrande)/(mpiccolo * mgrande).

• Questa formula tiene conto del rapporto tra le masse e della velocità iniziale.

La legge di conservazione della quantità di moto

In questa sezione, il professore spiega la legge di conservazione della quantità di moto e come si applica alla discesa dell'oggetto.

La quota massima dell'oggetto

• L'oggetto non può raggiungere l'altezza massima a causa delle forze interne che lo spostano lateralmente.

• Durante la discesa, le due masse si separano con velocità diverse: v1 finale per la massa m piccola e v2 finale per la massa m grande.

• Le velocità finali sono messe in maiuscolo perché le velocità di uscita finali sono sempre maggiori rispetto a quelle di ingresso.

La legge di conservazione della quantità di moto

• La legge di conservazione della quantità di moto lungo l'asse delle Hicks è valida anche per la discesa.

• È necessario imporre la conservazione della quantità di moto dell'intero sistema: mv0 all'inizio = m piccola * v1 dopo + m grande * v2 dopo.

L'equazione dell'energia

• È necessario aggiungere un'altra equazione all'equazione della conservazione della quantità di moto: l'equazione dell'energia.

• Anche in questo caso, l'energia meccanica è conservativa poiché non ci sono attriti né da una parte né dall'altra.

• La massa è ridiscesa, quindi c'è solo una conservazione cinetica.

Le equazioni dell'urto elastico

• Le due equazioni sono quelle dell'urto elastico e portano allo stesso risultato.

• È necessario fare la differenza tra le due equazioni e portare i termini da un lato e dall'altro per eliminare un mezzo.

• Il rapporto delle due equazioni porta alla condizione lineare di somma delle velocità della prima particella uguale alla somma delle velocità della seconda particella.

Le soluzioni

• Ci sono due soluzioni che dipendono dal caso specifico in esame.

Formule dell'urto elastico e centrale elastico

Panoramica della sezione: In questa sezione, il relatore spiega le formule dell'urto elastico e centrale elastico. Descrive come queste formule siano analoghe all'oggetto che viene lanciato contro un cuneo, lo sospinge risale sopra e poi ridiscende e si separa.

Formule dell'urto elastico e centrale elastico

• Le formule dell'urto elastico e centrale elastico sono analoghe all'oggetto che viene lanciato contro un cuneo.

• L'equazione per l'esplosione è la stessa delle formule dell'urto.

• L'esplosione è il caso opposto all'urto perfettamente elastico.

• Nell'urto perfettamente elastico l'energia viene persa e trasformata in calore, mentre nell'esplosione l'energia della molla si trasforma in energia cinetica delle due masse.

Trasformazione di energia

Panoramica della sezione: In questa sezione, il relatore parla della trasformazione di energia durante l'esempio di esplosione. Descrive come non ci sia una conservazione di energia ma piuttosto una trasformazione da considerare in un bilancio energetico complessivo.

Trasformazione di energia

• Non c’è una conservazione di energia ma piuttosto una trasformazione da considerare in un bilancio energetico complessivo.

• L'energia cinetica delle due masse aumenta a causa dello scoppio, mentre nell'urto perfettamente elastico diminuiva.

• Non c'è un bilancio energetico da soddisfare secondo il concetto di Einstein: nulla si crea, nulla si distrugge, tutto si trasforma.

Conservazione della quantità di moto

In questa sezione si parla della conservazione della quantità di moto e dell'energia delle molle. Si spiega come la somma delle forze interne al sistema non influisca sulla variazione della quantità di moto.

Conservazione della quantità di moto

• Qualunque fonte energetica che si trasforma in energia meccanica delle due masse, è un termine energetico.

• La seconda equazione cardinale per i sistemi di punti afferma la conservazione della quantità di moto lungo l'asse.

• Le forze esercitate dalla molla sono uguali ed opposte sulle masse m1 e m2, quindi non ci sono forze esterne lungo l'asse x e non c'è variazione della quantità di moto.

• Come il cannone che spara il proiettile, c'è chiaramente un proiettile che parte da un lato ed un oggetto che rincula dal lato opposto.

• La velocità con cui parte la scheggia è legata ad un rapporto strano tra le masse ed all'energia della molla o dell'esplosione.

Momento di una forza

In questa sezione si introduce il concetto del momento di una forza rispetto ad un polo o ad un asse. Si spiega come calcolare il momento rispetto ad un punto materiale.

Momento di una forza

• Si introduce il concetto del momento di una forza rispetto ad un polo o ad un asse.

• Il momento di una forza si può calcolare rispetto ad un punto materiale che non coincide con il polo.

• La forza F agisce su un punto materiale Q e la base del vettore rappresenta il punto dove è applicata la forza.

• Si fa la distinzione tra dove è applicata la forza e dove si trova il polo, per capire meglio si può pensare al punto di applicazione della forza come il corpo che sta in Russia.

Il momento di una forza

Panoramica della sezione: In questa sezione, viene introdotto il concetto di momento di una forza rispetto a un polo e come questo sia influenzato dal punto in cui la forza viene applicata.

Punto di applicazione della forza

• La posizione del punto in cui la forza viene applicata su un corpo rigido è fondamentale per determinare l'effetto della forza sul corpo.

• Il punto di applicazione non coincide necessariamente con il centro di massa del corpo.

Momento di una forza rispetto al polo

• Il momento di una forza rispetto a un polo è dato dal prodotto vettoriale tra il razzo vettore che collega il polo al punto di applicazione e la forza stessa.

• Il momento è un vettore che ha tre informazioni: modulo, direzione e verso.

• L'intensità del momento è data dal prodotto tra il modulo del razzo vettore e quello della forza moltiplicati per il seno dell'angolo compreso tra i due vettori.

Prodotto vettoriale e linea d'azione della forza

• Il prodotto vettoriale può essere visto come la moltiplicazione tra le componenti dei due vettori per il seno dell'angolo compreso tra essi.

• Un modo alternativo per calcolare il momento di una forza è quello di prolungare la forza e tracciare una retta chiamata linea d'azione della forza.

Mi dispiace, ma non vedo alcun trascritto nella richiesta. Potrebbe per favore fornirmi il trascritto in modo che io possa creare le note richieste?

Calcolo del determinante di una matrice

In questa sezione viene spiegato come calcolare il determinante di una matrice. Viene mostrato un esempio pratico e vengono fornite le istruzioni passo per passo.

Calcolo del determinante

• Per calcolare il determinante di una matrice, si deve individuare la prima riga della matrice e sostituire i valori con le componenti dei vettori.

• Nella seconda riga della matrice, si devono inserire le componenti dei vettori rimanenti nell'ordine specificato.

• Una volta completata la matrice, è possibile calcolare il determinante moltiplicando la terza componente del primo vettore per il minore formato dalle altre due righe e colonne, sottraendo poi questo valore dalla moltiplicazione della seconda componente del primo vettore per il minore formato dalle altre due righe e colonne.

• È importante notare che ci sono cambi di segno da considerare quando si calcola il determinante in base alla posizione degli indici di riga e colonna nella scacchiera bianconera.

Momento di una forza rispetto a un asse

In questa sezione viene spiegato come calcolare il momento di una forza rispetto a un asse. Vengono forniti esempi pratici e istruzioni dettagliate.

Calcolo del momento rispetto all'asse

• Per calcolare il momento di una forza rispetto a un asse, è necessario individuare il piano individuato dai vettori r e f.

• Il momento rispetto al polo deve essere ortogonale al piano individuato da questi due vettori.

• È possibile calcolare la proiezione del momento polare lungo l'asse per ottenere il momento assiale. Questo valore è uno scalare, mentre il momento polare è un vettore.

• Il momento assiale può essere calcolato moltiplicando il momento polare per il coseno dell'angolo tra l'asse e il piano individuato dai vettori r e f.

Calcolo del momento assiale

In questa sezione, il relatore spiega come calcolare il momento assiale rispetto a un polo e rispetto all'asse. Viene introdotto un nuovo polo e viene mostrato come calcolare il momento assiale rispetto ad esso.

Calcolo del momento assiale rispetto al polo

• Il momento assiale è dato dal prodotto misto tra il vettore r che va dal polo alla forza F e l'asse dell'asta.

• Il valore del momento assiale dipende dalla posizione del polo scelto lungo l'asse dell'asta.

• È possibile scegliere un qualsiasi punto sull'asse come polo per calcolare il momento assiale.

Calcolo del momento assiale rispetto al nuovo polo

• Viene introdotto un nuovo polo lungo l'asse dell'asta.

• Il vettore r cambia in base alla posizione del nuovo polo.

• Il prodotto vettoriale tra r e F viene utilizzato per calcolare il momento rispetto al nuovo polo.

• Il piano di riferimento cambia quando si sceglie un nuovo polo, ma il momento rimane ortogonale a tale piano.

• Il valore numerico del momento dipende dalla posizione del nuovo polo scelto lungo l'asse dell'asta.

Confronto tra momenti

• I momenti calcolati rispetto a due poli diversi non sono uguali.

• Viene mostrato come confrontare i momenti calcolati rispetto a due poli diversi.

Calcolo del momento assiale rispetto all'asse

• Il momento assiale può essere calcolato anche rispetto all'asse dell'asta.

• Il prodotto misto tra il vettore r e la forza F viene utilizzato per calcolare il momento assiale rispetto all'asse.

Calcolo del momento lungo l'asse

In questa sezione, il relatore spiega come calcolare il momento lungo l'asse e dimostra che il momento assiale è uguale al momento polare.

Calcolo del momento lungo l'asse

• Il momento lungo l'asse sarebbe un calcolo che sarebbe il momento lungo l'asse sarebbe m un primo moltiplicato scala mente.

• Il relatore dimostra che il momento assiale è uguale al momento polare.

• Il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo e quindi sono molto fortunati e le posso eliminare.

• Una volta eliminato la dimostrazione è fatta perché il momento assiale che avevamo calcolato a partire dal momento polari no e da questo è il momento assiale nuovo.

• Possiamo scegliere o primo comunque qualunque molto sull'asse mi va bene qualunque punto sull'asse è buono per calcolare diciamo il momento polare.

Momento della quantità di moto

In questa sezione, viene spiegato come si trova il Momento della quantità di moto rispetto ad un qualsiasi punto dell'asse.

Momento della quantità di moto

• Il relatore spiega come si fa il calcolo del Momento della quantità di moto rispetto ad un qualsiasi punto dell'asse.

• Si può fare in due modi: rispetto al polo o rispetto ad un asse ripartendo dall'inizio cioè ripartiamo dal dal calcolo rispetto al polo.

• Il calcolo del momento della quantità di moto è simile al calcolo del momento della forza.

• La quantità di moto è una massa che è una velocità quindi in realtà vuol dire che la massa sta qui sta qui in quel punto.

Momento della quantità di moto

In questa sezione, il relatore spiega come passare dalla forza al momento e come passare dalla quantità di moto al momento della quantità di moto. Viene anche mostrato come calcolare la proiezione del vettore quantità di moto lungo la normale.

Passaggio dalla forza al momento e dalla quantità di moto al momento della quantità di moto

• Il raggio che collega il polo col punto materiale rappresenta come si passa dalla forza al momento.

• Bisogna fare una premoltiplicazione per il raggio per passare dalla quantità di moto al momento della quantità di moto.

Calcolo della proiezione del vettore quantità di moto lungo la normale

• La proiezione del vettore quantità di moto lungo la normale è data da mv col n.

• La direzione è ortogonale alla radiale.

• Per calcolarla, si fa il prodotto vettoriale tra dr e p.

• Si può interpretare mv sentita come una proiezione della velocità.

Calcolo del momento polare e assiale

In questa sezione, viene spiegato come calcolare il momento polare e assiale.

Calcolo del momento polare

• Il momento polare è dato dal prodotto vettoriale tra dr e p.

• Le componenti sono hicks y e z per dr, mentre le componenti sono nvx mv y e z per p.

Calcolo del momento assiale

• Il momento assiale è la proiezione del momento polare lungo l'asse.

• Si calcola facendo il prodotto scalare tra il momento polare e il versore dell'asse.

Momento della quantità di moto rispetto ad un asse

Panoramica della sezione: In questa sezione, viene spiegato come calcolare il momento della quantità di moto rispetto ad un asse.

Calcolo del momento della quantità di moto

• Il momento della quantità di moto rispetto ad un asse può essere calcolato a partire da un polo.

• Quando si proietta sull'asse, non importa più la posizione del punto rispetto al quale abbiamo calcolato.

• Si può calcolare il momento della quantità di moto rispetto a qualsiasi punto dell'asse.

Legame tra il momento della forza e il momento della quantità di moto

Panoramica della sezione: In questa sezione, viene spiegato come legare il momento della forza al momento della quantità di moto.

Legame tra i momenti

• Il legame tra il momento della forza e il momento della quantità di moto è la base per la seconda equazione cardinale.