Mode shapes explained and demonstrated
ما هي أشكال الوضعية؟
تعريف شكل الوضعية
- شكل الوضعية هو الشكل اللحظي لهيكل عند تردد طبيعي معين، وهو نمط انحراف مرتبط بتردد طبيعي محدد.
- يمثل شكل الوضعية الإزاحة النسبية لجميع أجزاء الهيكل لتلك الوضعية المحددة.
الأمواج الثابتة
- يمكن اعتبار شكل الوضعية كأنه موجة ثابتة في بعدين أو ثلاثة أبعاد.
- عند اهتزاز خيط مثبت من كلا الطرفين، يحدث تداخل مدمر في نقاط معينة تُسمى العقد حيث تكون الإزاحة صفر.
النقاط والعقد
- النقاط التي لا يوجد فيها اهتزاز تُعرف بالعقد، بينما النقاط ذات الإزاحة القصوى تُسمى مضادات العقد.
- تمثل النقاط الصفراء العقد (نقاط عدم الاهتزاز)، بينما تمثل النقاط الخضراء مضادات العقد (نقاط الاهتزاز الأقصى).
الأبعاد المختلفة
- بالنسبة للهياكل أحادية البعد مثل الخيط، تكون العقد نقاطًا (صفر أبعاد).
- في الهياكل ثنائية الأبعاد، ستكون مناطق عدم الإزاحة خطوطًا (بعد واحد)، وفي الهياكل ثلاثية الأبعاد ستكون أسطحًا.
التردد الطبيعي وأهميته
مفهوم التردد الطبيعي
- التردد الطبيعي هو التردد الذي يهتز به الهيكل بشكل طبيعي بعد إعطائه تحفيز أولي.
- كل هيكل معقد لديه درجات حرية متعددة وبالتالي ترددات طبيعية متعددة.
أهمية أشكال الوضعيات والترددات الطبيعية
- كل وضع طبيعي مستقل عن الآخر؛ إذا كان للهيكل 10 أوضاع، فإن كل وضع له تردده وشكله الخاص.
- الشكل المنحرف للهيكل في أي لحظة هو مزيج خطي من جميع الأوضاع الطبيعية.
التحليل الديناميكي
تحليل السلوك الديناميكي
- الترددات الطبيعية وأشكال الوضعيات تحدد السلوك الديناميكي الأساسي للهيكل وتوضح كيفية استجابته للأحمال الديناميكية.
مقدمة حول القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
أهمية القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
- تُستخدم القيم الذاتية لتحديد الترددات الطبيعية لنظام الهيكل، بينما تحدد المتجهات الذاتية أشكال الوضعيات للهيكل.
- يتم دراسة نظام بسيط ذو درجة حرية واحدة لتحديد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
معادلة الحركة
- المعادلة الأساسية للحركة هي mx'' + kx = 0 ، حيث m هو الكتلة و k هو صلابة الزنبرك.
- هذه المعادلة هي معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية، وحلها يكون على شكل x = v e^-iomega t .
حساب القيم والمتجهات الذاتية
- بعد إدخال الحل في المعادلة، نحصل على العلاقة kphi = mphiomega^2 ، حيث نعتبر omega^2 = lambda .
- إعادة ترتيب المعادلة تعطي: (k - lambda m)phi = 0 . يجب أن تكون إحدى العبارات مساوية للصفر لتحقيق الشرط.
الحلول غير التافهة
- لا نريد الحل التافه حيث يؤدي إلى عدم اهتزاز الجسيمات. نحن مهتمون بالاهتزاز الديناميكي.
- نحتاج إلى إيجاد حل غير تافه عن طريق جعل محدد (k - lambda m) = 0 .
خصائص القيم والمتجهات الذاتية
- ستكون القيمة الذاتية دائمًا موجبة وحقيقية بسبب عدم وجود تخميد.
- بعد حساب القيمة الذاتية، يمكننا حساب التردد الطبيعي كجذر مربع للقيمة الذاتية.
محاكاة عددية للترددات الطبيعية وأشكال الوضعيات
تفاصيل النظام المدروس
- تم اختيار لوحة مربعة بطول 100 مم وعرض 100 مم وسمك 2 مم من مادة الصلب.
- اللوحة ليست مقيدة وتتحرك بحرِّيّة في جميع درجات الحرِّيّة الستة.
تحليل درجات الحرِّيّة
- تحتوي اللوحة على 121 عقدة و100 عنصر، مما يعني أن إجمالي درجات الحرِّيّة هو 726.
استخراج النتائج من المحاكاة
- تم استخراج 14 وضعًا، ولكن نظرًا لكون النظام غير مقيد، فإن الأوضاع الستة الأولى هي أوضاع جسم صلب بتردد طبيعي قريب من الصفر.
ملاحظات حول الأوضاع المستخرجة
موجات طبيعية في الهياكل
ترددات الوضع الأول
- تم تقديم الوضع الأول عند تردد 656 هرتز، مع الإشارة إلى الأوضاع التالية.
- الوضع الثاني يظهر عند 944 هرتز، بينما يظهر الوضع الثالث عند 1179 هرتز.
الأوضاع المتقدمة
- الوضع الرابع يظهر عند 1656 هرتز، ويليه الوضع الخامس الذي يتكرر بنفس التردد ولكن بأشكال وضع مختلفة.
- تم ذكر أن الوضع السادس والسابع لهما نفس التردد الطبيعي (2911 هرتز)، لكنهما يمتلكان أشكال وضع مختلفة.
السطوح النودالية
- تمت الإشارة إلى وجود خطوط نودالية وسطح نودالي في الهيكل ثلاثي الأبعاد، حيث توجد مناطق ذات إزاحة صفرية.
- المناطق الزرقاء الداكنة لا تهتز على الإطلاق وتعتبر سطوح نودالية ثنائية الأبعاد.
الاستنتاجات حول الترددات والأشكال
- يتم استخدام القيم الذاتية لتحديد الترددات الطبيعية للهيكل، حيث أن الترددات الطبيعية هي الجذر التربيعي للقيم الذاتية.