Ejercicios 7.3 Problema 21 Dennis G. ZILL ED 9na Ed. Transformada de Laplace ED PVI
¿Cómo resolver una ecuación diferencial con problema de valor inicial?
Introducción a la Transformada de Laplace
- El video presenta un método para resolver ecuaciones diferenciales con problemas de valor inicial utilizando la transformada de Laplace.
- Se menciona que es necesario aplicar la transformada a toda la ecuación diferencial para convertirla en una forma algebraica.
Aplicación de la Transformada
- Se explica cómo separar los términos constantes al aplicar la transformada, similar a las integrales y derivadas.
- La transformada de Laplace se aplica a la función derivada y se establece que s cdot Y(s) - y(0) = Lf(t) .
Cálculo de Derivadas
- Se discute el cálculo de la primera derivada y su relación con s .
- Al evaluar en cero, se obtiene que y'(0) = 2 , lo cual es crucial para el proceso.
Sustitución en Ecuaciones
- Se utiliza la fórmula para calcular la transformada del exponencial, resultando en 1/s + 4 .
- La expresión obtenida se sustituye en la ecuación original, facilitando el despeje.
Resolución Final
- Se reorganizan los términos para encontrar Y(s) , llevando a una expresión más manejable.
Transformada Inversa de Laplace y Ejemplo Práctico
Proceso de Transformación Inversa
- Se inicia la explicación sobre la tercera inversa de Laplace, evaluando en s - at . Se menciona que se realiza una transformada inversa directa.
- Se recuerda que la transformada inversa de 1/s-a es igual al exponencial e^at , donde a = -4 . Por lo tanto, el resultado es e^-4t .
- La transformada inversa de 1/s^2 se relaciona con tablas previas. Se establece que esta transformada da como resultado la variable multiplicada por el tiempo.
- Al aplicar la transformada inversa a 1/s^2 , se obtiene un término adicional que multiplica al exponencial, resultando en una expresión más compleja.
Verificación con el Libro
- Se compara el resultado obtenido con el del libro, específicamente en el problema 21 del grupo de ejercicios 7.3. La respuesta coincide y se presenta como: e^-4t + 2e^-400 .