Relaciones binarias
Cómo hallar una relación binaria
Introducción a la relación binaria
- Salvatore presenta el tema del día: cómo hallar una relación binaria, explicando que esta se define como parte del producto cartesiano de dos conjuntos.
- Se introducen los conjuntos A y B, donde A = 1, 2, 3 y B = 1, 2. La tarea es calcular pares ordenados (x,y) tal que x + y < 4.
Cálculo del producto cartesiano
- Para establecer la relación binaria, primero se debe calcular el producto cartesiano de A y B. Esto implica combinar todos los elementos de A con todos los elementos de B.
- Salvatore explica cómo se forman los pares ordenados: combina cada elemento de A con cada elemento de B para obtener un total de seis pares.
Establecimiento de la relación
- Se establece que una relación binaria está compuesta por aquellos pares que cumplen con la condición x + y < 4.
- Se evalúan las sumas de los componentes: (1,1), (1,2), (2,1), etc., determinando cuáles cumplen con la condición establecida.
Resultados finales
- Los pares que cumplen son (1,1), (1,2), y (2,1). Estos son incluidos en la relación final.
- Salvatore menciona que este método puede aplicarse a ejercicios más complejos sin necesidad de escribir siempre el producto cartesiano completo.
Ejemplo adicional sobre relaciones binarias
Nuevos conjuntos y condiciones
- Se presentan nuevos conjuntos A y B. La tarea ahora es calcular pares ordenados donde x ≥ y.
Evaluación directa sin producto cartesiano
- En lugar de calcular el producto cartesiano completo nuevamente, se procede directamente a evaluar qué combinaciones cumplen con la nueva condición.
Comprobación de condiciones
- Se analizan diferentes combinaciones comenzando desde el menor valor en A. Por ejemplo: si x = 1 entonces se evalúa contra todos los valores posibles en B.
Resultados intermedios
Análisis de Relaciones Binarias
Evaluación de Condiciones en Relaciones
- Se discute la relación entre los números, donde se establece que 4 es mayor o igual que 1, cumpliendo así con la condición planteada.
- Se continúa el análisis con 4 y 2, confirmando que 4 es mayor o igual que 2, lo cual también es verdadero.
- Se menciona que al analizar relaciones como 4.54 y 5, se concluye que no cumplen ya que 4.54 es menor que 5.
Dominio y Rango en Relaciones
- El dominio se define como las primeras componentes de los pares ordenados (1, 3 y 4), mientras que el rango corresponde a las segundas componentes (1 y 2).
- Se enfatiza la importancia del dominio en relación con las primeras componentes y cómo estas pertenecen a un conjunto específico.
Cálculo de Dominio y Rango
- Se introduce el concepto de calcular el dominio directamente a partir de una relación binaria sin necesidad de escribir todo el producto cartesiano.
- Se presenta un ejemplo práctico para calcular el dominio basado en un conjunto de pares ordenados representando números reales; este tema será abordado más a fondo en la siguiente clase.
Conclusiones Finales