RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO \Prof. Gis/

Relações Métricas do Triângulo Retângulo

• Introdução ao tema das relações métricas em triângulos retângulos, explicando o que é um triângulo retângulo.

• Relações métricas referem-se às medidas e relações entre os lados de um triângulo retângulo.

• Apresentação do triângulo ABC, onde A é o ângulo reto.

Identificação dos Lados do Triângulo

• O triângulo é composto por catetos e hipotenusa; a hipotenusa é o maior lado.

• A hipotenusa (BC) está oposta ao ângulo de 90° no vértice A.

• Nomeação dos lados: cateto AB como bezinho, AC como cezinho e BC como azinho.

Altura e Projeções no Triângulo

• Visualização da altura (h) do triângulo em relação à hipotenusa, formando um ângulo reto.

• A altura vai do vértice A até a hipotenusa, formando um ângulo reto com ela.

• Projeções dos catetos B e C na hipotenusa são denominadas M e N.

Visualização das Projeções

• Comparação das projeções com sombras formadas pela luz sobre os catetos B e C.

• Demonstração prática usando uma lanterna para ilustrar as projeções M e N.

• Formação de dois novos triângulos retângulos (ABH e AHC).

Triângulos Semelhantes Formados

Semelhança entre Triângulos

• Os triângulos têm ângulos internos iguais, indicando semelhança.

• Três triângulos são semelhantes devido aos ângulos internos, incluindo um ângulo reto.

• Relações métricas serão estabelecidas entre os triângulos formados.

Identificação dos Triângulos

• Triângulo 1: hipotenusa A, cateto B e cateto C.

• Medidas dos triângulos serão identificadas para comparação.

• Projeções N e M também são consideradas nas relações.

Comparação de Triângulos Semelhantes

• Comparação do triângulo 1 com o triângulo 2; lados correspondentes são proporcionais.

• Lado B do triângulo 1 está em relação ao lado H do triângulo 2.

• Estabelecimento de três relações proporcionais entre os dois triângulos.

Relação entre Triângulo 1 e Triângulo 3

• Lado B do triângulo 1 se relaciona com o lado M do triângulo 3.

• Lado C do triângulo 1 é proporcional ao lado H do triângulo 3.

• Hipotenusa A do triângulo 1 se relaciona com a hipotenusa B no triângulo 3.

Comparação entre Triâgulos 2 e 3

• Lado C do triâgulo 2 é proporcional à hipotenusa B no triâgulo 3.

• Proporcionalidade entre N e H nos dois últimos triángulos.

Relações Métricas em Triângulos

• O foco está nas proporções entre triângulos, com ênfase na relação de lados e ângulos.

• Triângulos são semelhantes devido a ângulos internos iguais e lados correspondentes proporcionais.

• A correspondência dos lados é crucial para determinar a semelhança entre os triângulos.

Cálculo das Proporções

• O objetivo é estabelecer cálculos para encontrar relações métricas entre os triângulos.

• É importante entender a origem das relações métricas, não apenas aplicá-las em exercícios.

• As proporções serão calculadas duas a duas, começando por pares de triângulos.

Multiplicação Cruzada

• Primeira relação métrica: B vezes N igual a CH.

• Segunda relação: A vezes H igual a BC, utilizando multiplicação cruzada novamente.

• Terceira relação: C vezes N igual ao quadrado de C, comparando CN com AC.

Repetição e Contagem das Relações

• Algumas relações já foram encontradas anteriormente; não devem ser contadas novamente.

• Seis relações métricas foram estabelecidas entre os lados dos triângulos até agora.

Teorema de Pitágoras e suas Aplicações

Conceitos Básicos

• O triângulo retângulo possui hipotenusa e catetos. O teorema de Pitágoras relaciona esses lados.

• A fórmula do teorema é: cateto² + cateto² = hipotenusa².

• A soma das projeções dos catetos (N + M) resulta na hipotenusa (A).

Derivação do Teorema

• É possível derivar o teorema a partir de outras relações métricas.

• Somando as relações AN e AM, obtemos C² = A(N + M).

• Concluímos que b² + c² = A², confirmando o teorema.

Resolução de Exercícios

• Iniciar exercícios identificando incógnitas em triângulos retângulos.

• Para encontrar 'A', aplicamos o teorema: B² + C² = A² com valores conhecidos.

Análise das Relações Métricas

• O objetivo é descobrir o valor de h, analisando as relações disponíveis.

• A relação CH = BN não pode ser utilizada por falta do valor de N.

• A relação A vezes h = BC é a única que pode ser usada.

Cálculo do Valor de h

• Usando a relação A vezes h = BC, onde A = 20, B = 12 e C = 16.

• O cálculo resulta em 192; dividindo por 20, encontramos h.

• O valor final de h é 9,6 (sem unidade definida).

Identificação da Incógnita

• É importante identificar qual incógnita deve ser resolvida nos exercícios.

• O próximo exercício envolve encontrar os valores de X e h.

• X representa a projeção M no triângulo.

Relações para Descobrir M

• Para descobrir M, várias relações métricas são consideradas.

• A relação b² = AM é escolhida para resolver o exercício.

Descobrindo o Valor de N e H

• O valor de N foi descoberto como 9, completando a soma para 25.

• A busca pelo valor de h começa, analisando as variáveis disponíveis.

• Considera-se o teorema de Pitágoras para encontrar o valor do cateto C.

Relações Métricas e Cálculos

• A relação métrica H² = MN é utilizada, onde M e N já foram encontrados.

• Inicia-se o cálculo com H² igual a 16 × 9, resultando em 144.

• A raiz quadrada de 144 é calculada, resultando no valor de h como 12 cm.

Finalizando os Cálculos e Práticas

• O exercício pede apenas o valor de h; outras medidas não são necessárias neste momento.

• Importância das relações métricas é destacada para prática futura nos exercícios.