Permutación explicación completa | Lineal, Circular y con elementos repetidos
Introducción al curso de combinatoria
Resumen de la sección: En esta sección introductoria, el instructor da la bienvenida al curso de combinatoria y explica que se centrará en los diferentes casos de permutación.
Explicación de los tipos de combinatoria
- La permutación es uno de los tres tipos principales de combinatoria, junto con la combinación y la variación.
- Algunos textos y profesores pueden agrupar la variación y la permutación como un solo tipo, pero en este curso se tratarán por separado.
- Se enfocará únicamente en la permutación en este video, pero habrá más videos explicando los casos de combinación y variación.
Los tres casos de permutación
- Hay tres casos diferentes de permutaciones: lineal, circular y con elementos repetidos.
- La permutación lineal implica que los elementos se permutan en línea recta o incluso en una línea torcida.
- La permutación circular implica que los elementos se agrupan o se permutan en un círculo u óvalo.
- El caso con elementos repetidos involucra elementos que no son todos distintos.
Permutaciones lineales
Resumen de la sección: En esta sección, el instructor explica el primer caso de permutaciones: las permutaciones lineales.
Ejemplo: Carrera con cinco estudiantes
- Se plantea un ejemplo donde cinco estudiantes compiten en una carrera de 100 metros.
- La pregunta es cuántas maneras diferentes pueden quedar en las posiciones de llegada.
- Se utiliza el método de las cajitas para resolver este tipo de permutación.
Método de las cajitas
- El método de las cajitas es una forma visual y práctica de resolver problemas de combinatoria.
- Consiste en representar cada posición o elemento como una "cajita" y asignar opciones a cada una.
- En este ejemplo, se tienen cinco opciones para la primera posición, cuatro opciones para la segunda posición, y así sucesivamente.
Permutaciones circulares
Resumen de la sección: En esta sección, el instructor explica el segundo caso de permutaciones: las permutaciones circulares.
Ejemplo: Colocación de estudiantes en un círculo
- Se plantea un ejemplo donde cinco estudiantes deben colocarse en un círculo.
- La pregunta es cuántas maneras diferentes pueden ubicarse en el círculo.
- Aunque se habla específicamente de un círculo, también puede ser un óvalo u otra forma cerrada.
Consideraciones con elementos repetidos
- En los casos de permutaciones circulares con elementos repetidos, se deben tener en cuenta las repeticiones al calcular las posibilidades.
Estos son los principales puntos cubiertos en el video. Recuerda que hay más información detallada y ejemplos adicionales que puedes encontrar viendo el video completo.
Opciones de selección en la tercera posición
Resumen de la sección: En esta sección, se discute el número de opciones disponibles para seleccionar a una persona en la tercera posición. Se plantea un escenario donde hay tres opciones posibles (camiseta roja, verde o morada) y se explica cómo determinar las opciones restantes para la cuarta posición.
- Hay tres opciones posibles para la tercera posición.
- Si el individuo con camiseta roja ocupa la tercera posición, solo quedan dos opciones (camiseta verde o morada) para la cuarta posición.
Fórmula de permutación lineal
Resumen de la sección: Aquí se presenta la fórmula para calcular las permutaciones lineales utilizando el principio fundamental del conteo y el factorial.
- La fórmula para calcular las permutaciones lineales es n factorial (n!).
- El factorial es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n.
- Para este ejemplo con 5 estudiantes, la fórmula sería 5 factorial (5!) que es igual a 120.
Fórmula general para permutaciones lineales
Resumen de la sección: Se establece una fórmula general para calcular las permutaciones lineales con cualquier número de elementos.
- La fórmula general para las permutaciones lineales es n factorial (n!).
- Si hubiera habido 6 estudiantes, entonces la fórmula sería 6 factorial (6!).
- La fórmula se aplica sin necesidad de realizar la lógica paso a paso.
Cálculo de las permutaciones lineales
Resumen de la sección: Se muestra cómo aplicar la fórmula de permutación lineal para calcular el número de formas diferentes en que pueden quedar las posiciones de llegada.
- Para el ejemplo con 5 estudiantes, se realiza el cálculo utilizando la fórmula 5 factorial (5!).
- El resultado es 120, lo que significa que hay 120 formas diferentes en que pueden quedar las posiciones de llegada.
Permutaciones circulares
Resumen de la sección: Se introduce el concepto de permutaciones circulares y cómo difieren de las permutaciones lineales. Se utiliza un ejemplo con personas sentadas alrededor de una mesa para ilustrar este tipo de permutación.
- Las permutaciones circulares involucran ubicar elementos en posiciones adyacentes.
- En el ejemplo con personas sentadas alrededor de una mesa, se busca determinar cuántas formas diferentes hay para ubicar a la mayoría de las personas.
- A diferencia de las permutaciones lineales, los giros completos no cambian la ubicación relativa entre los elementos.
Fórmula para permutaciones circulares
Resumen de la sección: Se presenta la fórmula para calcular las permutaciones circulares y cómo utilizarla en un escenario donde las personas están sentadas alrededor de una mesa.
- La fórmula para calcular las permutaciones circulares es n factorial (n!).
- En el ejemplo con 5 personas, se aplica la fórmula 5 factorial (5!) para determinar las formas diferentes de ubicar a las personas alrededor de la mesa.
- Se destaca que los giros completos no afectan la ubicación relativa entre los elementos.
Cálculo de permutaciones circulares
Resumen de la sección: Se muestra cómo aplicar la fórmula de permutación circular y tener en cuenta los giros completos para calcular el número real de formas diferentes en que pueden quedar las posiciones.
- Para el ejemplo con 5 personas sentadas alrededor de una mesa, se realiza el cálculo utilizando la fórmula 5 factorial (5!).
- Sin embargo, debido a los giros completos que no cambian la ubicación relativa, hay menos posiciones realmente diferentes.
- Se debe considerar este factor al realizar el cálculo final.
Permutación circular
Resumen de la sección: En esta sección, se explica el concepto de permutación circular y cómo calcular el número de posibles arreglos alrededor de una mesa con personas sentadas.
Permutación circular con elementos diferentes
- Si hay n personas sentadas alrededor de una mesa, el número de posibles arreglos es n factorial dividido por n.
- Ejemplo: Si hay 10 personas, el cálculo sería 10 factorial dividido por 10.
Permutación lineal con elementos repetidos
- Se explica un ejercicio sobre cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra "luna".
- Cada letra se considera única y puede cambiar su posición para formar una palabra diferente.
- Se utiliza el método de las "cajitas" para contar las opciones en cada posición.
- El resultado final es el factorial del número total de letras.
Permutación lineal con elementos repetidos (ejemplo)
- Se presenta otro ejemplo utilizando la palabra "matemáticas", que tiene letras repetidas.
- Se aplica la fórmula general de permutación lineal pero dividiendo por los factoriales correspondientes a las repeticiones de cada letra.
Permutación lineal con elementos repetidos (continuación)
Resumen de la sección: Continuando con el ejemplo anterior, se profundiza en cómo calcular las permutaciones cuando hay más letras repetidas en una palabra.
División por repeticiones adicionales
- Cuando hay más letras repetidas en una palabra, también se deben dividir las permutaciones por los factoriales correspondientes a las repeticiones adicionales.
- Se muestra cómo dividir por el factorial de cada letra repetida para obtener el número total de palabras diferentes que se pueden formar.
Fórmula general
- Se resume la fórmula general para calcular permutaciones lineales con elementos repetidos.
- Se divide por los factoriales correspondientes a las repeticiones de cada letra en la palabra.
Fórmula general para permutaciones lineales con elementos repetidos
Resumen de la sección: Se presenta la fórmula general para calcular permutaciones lineales con elementos repetidos.
Fórmula
- La fórmula general consiste en calcular el factorial del número total de elementos y luego dividir por los factoriales correspondientes a las repeticiones de cada elemento.
- Se utiliza "m" como variable para representar el número de elementos repetidos.
- Cada elemento repetido debe tener su propio factorial en el denominador.
Cálculo del factorial de 11
Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular el factorial de un número utilizando el ejemplo del factorial de 11. Se muestra cómo simplificar el cálculo utilizando factoriales más pequeños.
Cálculo del factorial de 11
- Para calcular el factorial de 11, se puede simplificar utilizando factoriales más pequeños.
- El número más grande en este caso es 3, por lo que se utiliza el factorial de 3 para eliminar los factores pares en el factorial de 11.
- No se pueden eliminar factoriales con otros factoriales. Por ejemplo, no se puede eliminar un factorial de 3 con solo un número 3.
- Se realiza la operación y se obtiene el resultado en la calculadora: 1,663,200.
Simplificación del cálculo del factorial
Resumen de la sección: En esta parte, se explica cómo simplificar aún más el cálculo del factorial utilizando factoriales más pequeños.
Simplificación del cálculo del factorial
- Para simplificar aún más el cálculo del factorial, se utilizan factoriales más pequeños.
- Se utiliza el conocimiento previo sobre los factoriales para simplificar las operaciones.
- Por ejemplo, al calcular el factorial de 11, primero se elimina el factorial de 2 (2! = 2), luego se elimina otro factorial de 2 (2! = 2), y así sucesivamente.
- Al realizar las operaciones correspondientes, se obtiene un resultado final.
Ejercicio propuesto y conclusiones
Resumen de la sección: En esta parte, se propone un ejercicio para que los espectadores resuelvan y se concluye la explicación sobre el cálculo del factorial.
Ejercicio propuesto y conclusiones
- Se propone un ejercicio en el que se deben determinar cuántos números de cinco cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5.
- Se plantean dos preguntas diferentes: cuántos números se pueden armar sin repetir ningún dígito y cuántos se pueden armar si se pueden repetir los dígitos.
- La respuesta al ejercicio se proporcionará más adelante en el video.
- Se invita a los espectadores a suscribirse al canal y darle like al video si les ha gustado o les ha sido útil la explicación.
Aclaraciones sobre permutaciones con elementos repetidos
Resumen de la sección: En esta parte, se realizan aclaraciones importantes sobre las permutaciones con elementos repetidos.
Aclaraciones sobre permutaciones con elementos repetidos
- Se aclara que no todas las situaciones en las que hay elementos repetidos implican una permutación con elementos repetidos.
- Es importante tener en cuenta si los elementos están realmente repetidos o no.
- En el caso del ejercicio propuesto anteriormente, donde los dígitos son 1, 2, 3, 4 y 5 sin repeticiones, no es una permutación con elementos repetidos.
- Si hubiera habido algún dígito repetido en el conjunto de dígitos, entonces sí sería una permutación con elementos repetidos.
Método de las cajitas para formar números
Resumen de la sección: En esta parte, se explica el método de las cajitas para formar números utilizando los dígitos dados.
Método de las cajitas para formar números
- Se introduce el método de las cajitas como una forma sencilla de formar números con los dígitos dados.
- Se muestra cómo utilizar este método en dos casos diferentes: sin repetir los dígitos y permitiendo la repetición de los dígitos.
- En el caso sin repetir los dígitos, se coloca cada dígito en una "cajita" y se cuentan las opciones disponibles para cada posición.
- Se realiza un ejemplo paso a paso utilizando cinco dígitos y se obtiene el resultado final mediante una permutación lineal.
Cálculo del número total de formas posibles
Resumen de la sección: En esta parte, se realiza el cálculo del número total de formas posibles utilizando los métodos explicados anteriormente.
Cálculo del número total de formas posibles
- Para calcular el número total de formas posibles, se utiliza la fórmula correspondiente al método utilizado (sin repetir o permitiendo la repetición).
- En el caso sin repetir los dígitos, se utiliza la fórmula del factorial (5!) para obtener 120 formas diferentes.
- En el caso permitiendo la repetición, se utiliza la fórmula (5^5) para obtener 3,125 formas diferentes.
- Se concluye que hay 3,125 formas diferentes de escribir números con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 permitiendo la repetición de los dígitos.