Geometria Plana: Circunferência - Conceitos Iniciais (Aula 20)

Introdução à Circunferência

Visão geral da seção: Nesta aula de geometria plana, vamos começar o estudo da circunferência. Veremos os conceitos iniciais e as posições relativas entre pontos, retas e circunferências.

Conceitos Iniciais da Circunferência

• A diferença entre circunferência e círculo: a circunferência é apenas a linha, enquanto o círculo é a área preenchida.

• Elementos da circunferência: centro, raio, reta tangente e corda.

• Reta tangente: toca a circunferência em um único ponto.

• Reta secante: toca a circunferência em dois pontos distintos.

• Corda: segmento de reta que une dois pontos na circunferência.

• Arco: parte da circunferência delimitada por uma corda.

• Diâmetro: corda máxima de uma circunferência, com comprimento igual ao dobro do raio.

Posições Relativas

Ponto em relação à Circunferência

• Um ponto pode pertencer à circunferência (estar sobre a linha da circunferência) ou ser interno à mesma.

Retas em relação à Circunferência

• Retas podem ser tangentes (tocam a circunferência em um único ponto), secantes (tocam a circunf

Posições Relativas entre Pontos, Retas e Circunferências

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o palestrante discute as posições relativas entre pontos, retas e circunferências. Ele explora diferentes cenários em que a distância entre esses elementos varia.

Posição Relativa entre Ponto e Circunferência

• Quando um ponto está na circunferência, a distância desse ponto até o centro é igual ao raio.

• Se o ponto estiver dentro da circunferência, a distância até o centro será menor que o raio.

• Se o ponto estiver fora da circunferência, a distância até o centro será maior que o raio.

Posição Relativa entre Reta e Circunferência

• Se uma reta estiver fora da circunferência, a distância até o centro será maior que o raio.

• Se uma reta for tangente à circunferência, a distância até o centro será igual ao raio.

• Se uma reta for secante em relação à circunferência, a distância até o centro será menor que o raio.

Posição Relativa entre Duas Circunferências

Tangente Interna

• Duas circunferências são tangentes internamente quando possuem um único ponto em comum e os demais pontos são internos à outra circunferência.

Interna

• Uma circunferência é interna à outra quando todos os seus pontos estão dentro da outra circunferência.

Tangente Externa

• Duas circunferências são tangentes externamente quando possuem um único ponto em comum e os demais pontos são externos à outra circunferência.

Secante

• Duas circunferências são secantes quando possuem somente dois pontos em comum e não se enquadram nas categorias de tangente interna ou externa.

Resumo das Posições Relativas

• Tangente Interna: um ponto em comum, demais pontos internos.

• Interna: todos os pontos internos.

• Tangente Externa: um ponto em comum, demais pontos externos.

• Secante: dois pontos em comum, nem todos os pontos internos ou externos.

Posições Relativas entre Duas Circunferências

Visão Geral da Seção: Nesta seção, são apresentadas as cinco possíveis posições relativas entre duas circunferências.

Caso de Circunferências Tangentes Externas

• Duas circunferências são tangentes externas quando não têm pontos em comum.

• A distância entre os centros das circunferências é maior do que a soma dos raios.

Exercício 1: Determinar os Raios de Circunferências Tangentes Externamente

• As circunferências são tangentes externamente.

• A distância entre os centros é fornecida como 18 cm.

• A soma dos raios é igual a 18 cm.

• Utilizando as equações, podemos determinar os valores dos raios.

Exercício 2: Determinar os Raios de Circunferências Tangentes Interna e Externamente

• As circunferências menores são tangentes externamente e internamente à circunferência maior.

• Distâncias entre os centros e comprimentos específicos são fornecidos para calcular os raios das circunferências menores.

Método da Substituição

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o professor explica o método da substituição para resolver um sistema de equações com três incógnitas.

Resumo dos Tópicos Principais

• O método da substituição consiste em isolar as incógnitas em uma das equações e substituí-las nas outras equações.

• Somar as três equações também é uma opção mais simples para resolver o sistema.

Somando as Equações

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o professor mostra como somar as três equações do sistema.

Resumo dos Tópicos Principais

• Ao somar as três equações, os termos com raio A positivo e negativo se cancelam, assim como os termos com raio B positivo e negativo.

• O resultado é a soma do raio C com dois raios iguais a 63.

• Simplificando a expressão, temos que 17 + 13 + 12 = 42. Dividindo por dois, encontramos que RC = 21.

Encontrando os Raios das Circunferências

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o professor utiliza os resultados obtidos anteriormente para encontrar os raios das circunferências.

Resumo dos Tópicos Principais

• Substituindo na segunda equação, temos que RA - RC = 17. Isolando RA, encontramos que RA = 21 - 17 = 4.

• Substituindo na terceira equação, temos que RC - RB = 13. Isolando RB, encontramos que RB = 21 - 13 = 8.

Conclusão

Visão Geral da Seção: Nesta seção, o professor conclui a resolução do sistema de equações e encontra os valores dos raios das circunferências.

Resumo dos Tópicos Principais

• O raio da circunferência A é igual a 4 centímetros.

• O raio da circunferência B é igual a 8 centímetros.

Espero que você tenha entendido o processo de resolução do sistema de equações utilizando o método da substituição.