MÁXIMOS, MÍNIMOS O PUNTOS DE SILLA. HESSIANO. Ejemplo 1. Video#135
¿Cómo determinar los puntos críticos de una función de dos variables?
Introducción al tema
- El presentador da la bienvenida y menciona que enseñará a determinar los puntos críticos de una función de dos variables, así como su clasificación.
Planteamiento del ejercicio
- Se presenta la función f(x, y) = x^2 + y^2 - 5x - 4y + xy y se indica que se deben encontrar los puntos críticos y clasificarlos.
Derivadas parciales
- Se explica que el procedimiento para encontrar puntos críticos es similar al de funciones de una sola variable: derivar, igualar a cero y sustituir en la función original.
- Se inicia con el cálculo de las derivadas parciales respecto a x e y .
Cálculo de la derivada parcial respecto a x
- La derivada parcial con respecto a x :
- Derivada de x^2 : 2x
- Derivada de constantes: 0
- Resultado final: 2x - 5 + y
Cálculo de la derivada parcial respecto a y
- La derivada parcial con respecto a y :
- Derivada de constantes: 0
- Resultado final: 2y + x - 4
Igualación a cero
- Se igualan las derivadas parciales a cero:
- Primera ecuación: 2x + y = 5
- Segunda ecuación: x + 2y = 4
Resolución del sistema
- Se reorganizan las ecuaciones para resolver el sistema:
- Multiplicando la primera por dos para facilitar la eliminación.
- Al restar se obtiene un valor para y =1.
Sustitución para encontrar valores
- Sustituyendo el valor encontrado en una ecuación, se determina que:
- Valor crítico encontrado es (2,1).
Clasificación del punto crítico
- Para clasificar el punto crítico como máximo, mínimo o punto silla, se utiliza el determinante hessiano:
- Fórmula presentada:
$$ D = f_xxf_yy - (f_xy)^2 $$
Cálculo del Hessiano
Cálculo de Segundas Derivadas y Análisis de Puntos Críticos
Proceso para Encontrar las Segundas Derivadas
- Se inicia el proceso encontrando la segunda derivada de la función f(x) , que implica derivar nuevamente respecto a x . La primera derivada es 2x .
- Al calcular la segunda derivada respecto a y , se obtiene que la derivada parcial de f(y) es igual a 0, lo que simplifica el análisis posterior.
- Se realiza una derivación cruzada, primero respecto a x y luego respecto a y , resultando en una derivada parcial que equivale a 1.
Sustitución en el Determinante
- Los valores obtenidos se sustituyen en la expresión del determinante. El cálculo resulta en un determinante de 3, lo cual es significativo para el análisis del punto crítico.
Evaluación del Determinante
- Se evalúa si el determinante es mayor o igual a cero. En este caso, dado que el determinante es 3 (mayor que 0), se concluye que estamos ante un mínimo local.
- Además, se verifica si la segunda derivada respecto a x también es mayor que cero (en este caso, da 2), confirmando así la naturaleza del mínimo encontrado.
Conclusiones Finales