Distribución Normal - Ejercicios Resueltos - Nivel 1

Distribución Normal

Resumen de la sección: En esta sección, Jorge de Mate Móvil introduce el tema de la distribución normal y presenta ejemplos utilizando histogramas para ilustrar sus características.

Ejemplo 1: Temperatura Ambiental en Piura

• Jorge registra diariamente la temperatura ambiental al mediodía durante un año en Piura, Perú.

• El histograma muestra que la temperatura más registrada es de 20 grados centígrados, con una frecuencia menor para temperaturas cercanas a 19 y 21 grados.

• La media (valor central del histograma) coincide con la moda (valor que más se repite), ambos son 20 grados.

• El histograma tiene forma de campana y presenta simetría respecto a la media.

Ejemplo 2: Peso de Tomates en una Hacienda

• Se analiza el peso de los tomates producidos en una hacienda.

• El histograma muestra que el peso más común es de 150 gramos, coincidiendo con la media y la moda.

• La mediana también es de 150 gramos, lo cual indica simetría en la distribución normal.

Aplicaciones Prácticas

La distribución normal se encuentra presente en diversas variables naturales como las notas de los alumnos en un examen de admisión o la presión sanguínea.

Desviación estándar y variabilidad en los datos

Resumen de la sección: En esta sección se explica el concepto de desviación estándar como una medida de la dispersión de los datos. Se utiliza un ejemplo de una fábrica que produce agua embotellada para ilustrar cómo la desviación estándar puede cambiar dependiendo de la calibración y el mantenimiento de las máquinas.

Desviación estándar y dispersión de los datos

• La desviación estándar es una medida comúnmente utilizada para medir la variabilidad o dispersión de los datos.

• Indica qué tan dispersos están los datos alrededor de la media.

• Se utiliza un ejemplo con una fábrica que produce agua embotellada para ilustrar este concepto.

• Las botellas deben contener 625 mililitros según la etiqueta, pero puede haber pequeñas variaciones en el volumen real del agua.

• Si las máquinas están bien calibradas y ajustadas, habrá poca dispersión en los datos y, por lo tanto, una baja desviación estándar.

• Sin embargo, si las máquinas no reciben mantenimiento adecuado a lo largo del tiempo, pueden descalibrarse y provocar mayores variaciones en el volumen del agua embotellada.

Impacto en la distribución normal

• Cuando la desviación estándar es pequeña, los datos tienden a agruparse más cerca de la media, creando una campana más estrecha y alta (distribución normal).

• Por otro lado, cuando la desviación estándar es alta, los datos se dispersan más y la campana se vuelve más baja y ancha.

• La desviación estándar afecta la forma de la distribución normal y cómo se distribuyen los datos alrededor de la media.

Representación de la distribución normal

• En muchos libros, la distribución normal se representa con la letra "N" seguida de dos valores entre paréntesis: la media y la desviación estándar.

• Algunos libros utilizan el símbolo sigma al cuadrado para representar la varianza en lugar de la desviación estándar.

• Para mayor comodidad, en este curso se utilizará una notación más sencilla: "Distribución normal con media y desviación estándar".

Características de las distribuciones normales

Resumen de la sección: En esta sección se explican las características clave de las distribuciones normales. Se utiliza una analogía gráfica para comprender mejor cómo funciona una función y cómo se relaciona con una distribución normal.

Funciones y su representación gráfica

• Una función es una relación matemática que asigna un valor a otro valor.

• Las funciones pueden representarse gráficamente como líneas o curvas en un plano cartesiano.

• Cada punto en el gráfico tiene coordenadas (x, y), donde x es el valor independiente e y es el valor dependiente.

Relación entre funciones y distribuciones normales

• Para comprender mejor las características de una distribución normal, podemos pensar en ella como una función gráfica.

• La función gráfica representa cómo cambia el valor dependiente (y) a medida que cambia el valor independiente (x).

• En una distribución normal, la media representa el punto central de la función y la desviación estándar determina qué tan dispersos están los datos alrededor de la media.

Representación de una distribución normal

• En lugar de utilizar la notación tradicional con "N" y paréntesis, se utilizará la notación más sencilla: "Distribución normal con media y desviación estándar".

• Por ejemplo, si se menciona una distribución normal con media 3 y desviación estándar 0.5, significa que los datos tienden a agruparse alrededor del valor 3 con poca dispersión.

Características de las distribuciones normales (continuación)

Resumen de la sección: Se continúa explicando las características clave de las distribuciones normales utilizando ejemplos numéricos para ilustrar cómo interpretar los valores de media y desviación estándar en una distribución normal.

Ejemplo numérico

• Se presenta un ejemplo donde se menciona una distribución normal con media 3 y desviación estándar 0.5.

• La media es el valor central alrededor del cual se agrupan los datos.

• La desviación estándar indica qué tan dispersos están los datos alrededor de la media.

• En este caso, hay poca dispersión ya que la desviación estándar es baja (0.5).

Interpretando los valores

• Una vez comprendidos los conceptos básicos, es posible interpretar correctamente los valores en una distribución normal.

• La media representa el punto central o promedio alrededor del cual se agrupan los datos.

• La desviación estándar indica qué tan dispersos están los datos alrededor de la media.

• Cuanto mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los datos.

Importancia de comprender las distribuciones normales

• Comprender las características y propiedades de las distribuciones normales es fundamental para el análisis estadístico.

• Permite interpretar correctamente los resultados y tomar decisiones informadas basadas en los datos.

• La notación utilizada en este curso simplifica la representación de las distribuciones normales, facilitando su comprensión y aplicación.

Funciones y su definición

Resumen de la sección: En esta sección, se explora la definición de una función y cómo se puede expresar en forma de ecuación. Se presentan ejemplos de funciones simples, como fx = x, así como funciones más complejas, como las funciones cuadráticas y cúbicas. También se menciona la función especial conocida como distribución normal, que tiene características específicas relacionadas con la media y la desviación estándar.

Definición de una función

• Una función es una relación entre un conjunto de entradas (x) y un conjunto correspondiente de salidas (fx).

• La definición básica de una función es fx = x, donde el valor de salida siempre es igual al valor de entrada.

• Las funciones pueden tener ecuaciones más complejas, como las funciones cuadráticas (fx = x^2) o cúbicas (fx = x^3 + 1).

Distribución normal y sus características

• La distribución normal es una función con forma de campana que fue definida por Carl Friedrich Gauss.

• La ecuación para esta función es fx = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x - μ)^2 / (2σ^2)), donde μ representa la media y σ representa la desviación estándar.

• La distribución normal depende tanto de la media como de la desviación estándar.

• Una característica importante de esta función es que el área bajo la curva siempre es igual a 1.

• El área bajo la curva representa las probabilidades totales para todos los eventos posibles.

Características importantes de la distribución normal

Resumen de la sección: En esta sección, se exploran las características clave de la distribución normal y cómo estas características son relevantes para definir variables que siguen una distribución normal.

Características de la distribución normal

• La distribución normal depende tanto de la media (μ) como de la desviación estándar (σ).

• El área bajo la curva de la distribución normal siempre es igual a 1.

• La forma de la curva varía según los valores de μ y σ.

• La distribución normal es utilizada para modelar variables que siguen un patrón común en muchos fenómenos naturales y sociales.

Área bajo la curva en la distribución normal

Resumen de la sección: En esta sección, se explora cómo calcular el área bajo la curva en una función de distribución normal utilizando ejemplos prácticos.

Cálculo del área bajo la curva

• Para calcular el área bajo una curva en una función de distribución normal, se puede utilizar el método del rectángulo o el método del triángulo.

• Siempre es posible encontrar un rectángulo o un triángulo que cubra el área deseada bajo la curva.

• El cálculo del área consiste en multiplicar las dimensiones correspondientes al rectángulo o al triángulo.

• El resultado obtenido representa el valor del área sombreada bajo la curva.

Suma total de probabilidades en eventos posibles

Resumen de la sección: En esta sección, se explora cómo los conceptos relacionados con el cálculo del área bajo una curva en la distribución normal se relacionan con la suma total de probabilidades en eventos posibles.

Suma total de probabilidades

• La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles siempre es igual a 1.

• Esto se aplica tanto a la distribución normal como a otros casos, como lanzar una moneda o un dado.

• En el caso de una distribución normal, el área bajo la curva representa las probabilidades totales para todos los valores posibles.

Estas son las principales secciones y conceptos abordados en el video.

Cálculo de probabilidades en distribución normal

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular probabilidades utilizando la distribución normal. Se utiliza un ejemplo con el peso de los tomates para ilustrar el proceso.

Cálculo de probabilidad entre 150 y 155 gramos

• Para calcular la probabilidad de que un tomate tenga un peso entre 150 y 155 gramos, se debe encontrar el área bajo la curva de la distribución normal en ese rango.

• Utilizando una tabla zeta, se puede determinar que el área correspondiente es igual a 0.20 o el 20%.

• Esto significa que hay una probabilidad del 20% de que un tomate tenga un peso entre 150 y 155 gramos.

Simetría respecto a la media

• La distribución normal es simétrica respecto a su media.

• Esto significa que la forma de la curva a la derecha y a la izquierda de la media es igual.

• Si se desea calcular la probabilidad de un rango simétrico respecto a la media, como entre 145 y 150 gramos, se puede utilizar el mismo método descrito anteriormente.

Características adicionales

• La distribución normal tiene otras características interesantes, como ser representada mediante áreas bajo la curva.

• El uso de integrales o simuladores como Geogebra también son opciones para calcular estas áreas.

• Además, el 50% de los valores se encuentran a cada lado de la media en una distribución normal.

Distribución Normal - Áreas bajo la curva

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular las áreas bajo la curva de una distribución normal utilizando porcentajes y valores decimales. Se muestra cómo ubicar los valores en diferentes áreas y se destaca que la campana de Gauss nunca toca el eje x.

Cálculo de áreas a cada lado de la media

• El área 1 representa el 20% de los valores a la izquierda de la media.

• El área 2 representa el 30% de los valores a la izquierda de la media.

• El área 3 representa el 20% de los valores a la derecha de la media.

• El área 4 representa el 30% de los valores a la derecha de la media.

Características clave

• La suma total del área bajo toda la curva es igual a 1 o al 100%.

• La distribución normal es simétrica respecto al centro.

• El 50% de los valores se encuentran a cada lado de la media.

Ejemplos prácticos con zanahorias

• Se utiliza un ejemplo con zanahorias para aplicar los conceptos aprendidos sobre áreas bajo la curva.

• Se calcula el porcentaje de zanahorias con un peso entre 100 y 110 gramos utilizando una tabla zeta.

• Se muestra que las distancias simétricas respecto al centro tienen el mismo valor del área (ejemplo: entre 90 y 100 gramos).

• Se resalta que el cálculo del porcentaje depende del valor del área correspondiente.

Distribución Normal - Características adicionales

Resumen de la sección: En esta sección, se presentan características adicionales de la distribución normal, como el valor del área bajo la curva y la probabilidad de encontrar valores dentro de un rango específico.

Valor del área bajo la curva

• El área total bajo la curva es igual a 1 o al 100%.

• Se muestra cómo calcular el valor del área utilizando porcentajes y decimales.

Simetría respecto al centro

• La distribución normal es simétrica respecto al centro.

• Si el valor del área en un lado de la media es conocido, el valor del área en el lado opuesto será igual.

Cálculo de probabilidades

• Se utiliza una tabla zeta para calcular las probabilidades correspondientes a diferentes rangos.

• Se ejemplifica cómo determinar el porcentaje de zanahorias con un peso menor a 90 gramos utilizando los conceptos aprendidos.

Distribución Normal - Conclusiones finales

Resumen de la sección: En esta sección final, se repasan las características principales y se enfatiza en la importancia de comprender los conceptos teóricos para resolver problemas relacionados con la distribución normal.

Repaso rápido

• Se realiza un repaso rápido sobre las características clave aprendidas anteriormente.

• Se borran los valores previos para realizar otro ejemplo práctico.

Importancia de conocer las características teóricas

• Se destaca que muchos errores en cálculos relacionados con la distribución normal ocurren debido a una falta de comprensión teórica.

• Es fundamental revisar y entender las características teóricas antes de resolver problemas prácticos.

Ejemplo práctico adicional

• Se propone un nuevo ejemplo práctico utilizando zanahorias.

• Se motiva a los espectadores a practicar con diferentes tipos de problemas relacionados con la distribución normal.

Probabilidad de encontrar una zanahoria con un peso mayor a 110 gramos

Resumen de la sección: En esta parte del video, se plantea el problema de encontrar la probabilidad de encontrar una zanahoria con un peso mayor a 110 gramos. Se utiliza la distribución normal para resolver este problema.

Cálculo de la probabilidad

• Se plantea el problema de encontrar el área bajo la curva normal correspondiente al peso mayor a 110 gramos.

• Se explica que el área 4 representa la probabilidad buscada.

• Utilizando los valores proporcionados en el problema, se realiza un cálculo sencillo para determinar que el área 4 es igual a 0.15 o 15% en decimales.

Relación entre las áreas bajo la curva normal

Resumen de la sección: En esta parte del video, se establece una relación entre las áreas bajo la curva normal en una distribución normal estándar.

Relación entre áreas

• Se menciona que el área 1 y el área 2 suman el 50% o 0.5.

• De manera similar, se indica que también se puede decir lo mismo acerca del área 2 y el área 3, ya que también suman el 50% o 0.5.

• Se destaca que estas relaciones son válidas tanto en términos porcentuales (50%) como decimales (0.5).

Características y resolución de problemas con distribución normal

Resumen de la sección: En esta parte del video, se explican las características de la distribución normal y cómo resolver problemas relacionados utilizando la tabla zeta.

Características de la distribución normal

• Se menciona que los problemas relacionados con la distribución normal serán sencillos si se comprenden sus características.

• Se enfatiza que es importante entender estas características para poder resolver los problemas de manera más fácil.

Importancia de descargar la guía de ejercicios y la tabla zeta

Resumen de la sección: En esta parte del video, se destaca la importancia de descargar y utilizar una guía de ejercicios y una tabla zeta para resolver problemas relacionados con la distribución normal.

Descarga de materiales

• Se menciona que en la descripción del video hay enlaces para descargar dos archivos importantes: una guía de ejercicios y una tabla zeta.

• La guía de ejercicios contiene los problemas que se resolverán en el video.

• La tabla zeta, también conocida como tabla de áreas bajo la curva normal estandarizada, es fundamental para resolver los problemas. Se recomienda imprimir esta tabla y llevarla a los exámenes.

Problema 1: Probabilidad utilizando la tabla zeta

Resumen de la sección: En esta parte del video, se plantea el primer problema relacionado con encontrar probabilidades utilizando la tabla zeta.

Problema 1

• Se presenta un problema sobre una variable aleatoria continua Z con distribución normal estándar (media = 0, desviación estándar = 1).

• El objetivo es encontrar las probabilidades utilizando la tabla zeta.

• Se solicita encontrar la probabilidad de que Z se encuentre entre 0 y 1.25, así como la probabilidad de que Z sea mayor o igual a cero y menor o igual a 1.25.

Características de la distribución normal estándar

Resumen de la sección: En esta parte del video, se repasan las características de la distribución normal estándar antes de resolver el problema planteado.

Características de la distribución normal estándar

• Se recuerda que en la distribución normal estándar, la media es 0 y la desviación estándar es 1.

• Se muestra cómo representar gráficamente esta distribución utilizando una campana de Gauss.

Cálculo de probabilidades utilizando la tabla zeta

Resumen de la sección: En esta parte del video, se explica cómo utilizar la tabla zeta para calcular las probabilidades solicitadas en el problema planteado.

Cálculo utilizando la tabla zeta

• Se dibuja una representación gráfica con el eje horizontal correspondiente a Z.

• Se coloca el valor Z = 1.25 en el gráfico.

• Se marca el área bajo la curva entre 0 y 1.25 para calcular su probabilidad.

• Se destaca que es necesario utilizar la tabla zeta para obtener el valor del área correspondiente.

Utilización de tabla zeta para encontrar áreas bajo curva

Resumen de la sección: En esta parte del video, se muestra cómo utilizar correctamente la tabla zeta para encontrar áreas bajo una curva normal estandarizada.

Utilización de la tabla zeta

• Se explica que se debe buscar el valor de Z = 1.25 en la tabla zeta.

• Se menciona que la tabla proporciona el área bajo la curva entre 0 y 1.25, pero no el área a la derecha de 1.25 ni el área a la izquierda de 0.

• Se enfatiza que es importante entender qué información proporciona la tabla y cómo utilizarla correctamente para resolver problemas relacionados con probabilidades en distribuciones normales estándar.

Cálculo del área bajo la curva para un valor de z igual a 1.25

Resumen de la sección: En esta sección, se calcula el valor del área bajo la curva normal estandarizada para un valor específico de z.

Cálculo del área para z = 1.25

• Se busca determinar el valor del área cuando z es igual a 1.25.

• Utilizando una tabla Zeta, se encuentra que el área correspondiente a z = 1.25 es aproximadamente 0.3944.

Probabilidad de que z esté entre 0 y 1.25

• Se desea calcular la probabilidad de que z esté entre 0 y 1.25.

• El área bajo la curva entre estos dos valores es igual a 0.3944.

• Por lo tanto, la probabilidad solicitada es de aproximadamente 0.3944.

Cálculo del área bajo la curva para un valor de z mayor o igual a 1.25

Resumen de la sección: En esta sección, se calcula el valor del área bajo la curva normal estandarizada para valores de z mayores o iguales a 1.25.

Cálculo del área para z >= 1.25

• Se busca determinar el valor del área cuando z es mayor o igual a 1.25.

• El área correspondiente está ubicada en el lado derecho de este valor en la distribución normal estándar.

• Utilizando una tabla Zeta, se encuentra que el área correspondiente es aproximadamente 0.1056.

Característica importante: El 50% de los datos están a la derecha de la media

• En la distribución normal, el 50% de los datos se encuentra a la derecha de la media.

• Esto implica que la suma del área 3 (0.3944) y el área 4 (área a calcular) debe ser igual a 0.5.

Cálculo del área 4

• Se procede a calcular el valor del área 4 restando el área 3 (0.3944) de 0.5.

• El resultado es aproximadamente 0.1056.

Cálculo del área bajo la curva para un valor de z menor o igual a -1.25

Resumen de la sección: En esta sección, se aborda cómo calcular el valor del área bajo la curva normal estandarizada para valores de z menores o iguales a -1.25.

Utilizando simetría en la distribución normal estándar

• La tabla Zeta no proporciona valores negativos para z.

• Para calcular el valor correspondiente a -1.25, se utiliza la simetría de la distribución normal estándar.

• Se busca encontrar el valor simétrico alrededor de cero para utilizarlo en los cálculos.

Valor simétrico para z = -1.25

• Para encontrar el valor simétrico alrededor de cero, se determina cuántas unidades hay entre cero y 1.25.

• La distancia es igual a 1.25 unidades.

Conclusiones finales:

En este resumen hemos abordado diferentes aspectos relacionados con el cálculo del área bajo una curva normal estandarizada para distintos valores de z. Hemos calculado áreas para valores específicos de z, así como también hemos utilizado la simetría de la distribución normal para encontrar áreas correspondientes a valores negativos de z. Estos conceptos son fundamentales en el estudio y comprensión de la distribución normal estándar.

Valor negativo y simetría respecto a la media

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo encontrar el valor simétrico respecto a la media en una distribución normal. Se muestra un ejemplo donde se tiene un valor de 125 y se busca su valor simétrico. También se menciona que los valores simétricos tienen la misma distancia a la media.

• El valor simétrico respecto a la media de 125 es -125.

• Los valores simétricos tienen la misma distancia a la media.

Cálculo de probabilidad utilizando áreas bajo la curva

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular probabilidades utilizando áreas bajo la curva en una distribución normal. Se muestra un ejemplo donde se busca calcular la probabilidad de que Z sea menor o igual a 1.25.

• Se marca el área bajo la curva entre 0 y 1.25 para delimitar el área de interés.

• La probabilidad de que Z sea menor o igual a 1.25 es igual al área marcada.

• Esta área representa los valores menores o iguales a -1.25 en una distribución normal.

Uso de simetría en distribución normal

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo utilizar la simetría en una distribución normal para calcular áreas bajo la curva cuando tenemos valores negativos. Se menciona que las áreas son iguales pero con valores simétricos respecto a la media.

• Utilizamos el concepto de simetría en una distribución normal para encontrar el valor del área 3.

• El área 3 es igual al área 2 debido a la simetría de la distribución.

• Las áreas bajo la curva deben ser valores simétricos si los valores están a distancia de la media.

Cálculo del área 1 utilizando el porcentaje de datos

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular el área 1 utilizando el porcentaje de datos que se encuentran a la izquierda de la media en una distribución normal. Se muestra un ejemplo donde se busca calcular el área 1 cuando el 50% de los datos están a la izquierda de la media.

• El área 1 representa el porcentaje de datos que se encuentran a la izquierda de la media.

• Utilizando el porcentaje dado (50%), podemos calcular el valor del área 1 restando el valor del área 2 al porcentaje dado.

Cálculo de probabilidad entre dos valores

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular probabilidades entre dos valores en una distribución normal. Se muestra un ejemplo donde se busca calcular la probabilidad de que Z esté entre 0 y 1.33.

• Se marca el área bajo la curva entre los dos valores para delimitar el área de interés.

• La probabilidad buscada es igual al valor del área marcada.

• Utilizamos una tabla z para encontrar el valor correspondiente al área bajo la curva entre los dos valores dados.

Distribución Normal y Área a la Izquierda de -1.33

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo encontrar el área a la izquierda de un valor específico en una distribución normal. Se utiliza como ejemplo el valor -1.33.

Distribución Normal y Área a la Izquierda de -1.33

• La distribución normal es una forma de representar datos que siguen un patrón en forma de campana.

• Para encontrar el área a la izquierda de un valor específico, se marca ese valor en los ejes y se divide el área en dos partes: área 1 y área 2.

• Utilizando las propiedades de la distribución normal, es posible determinar el área bajo la curva correspondiente al valor dado.

Distribución Normal no Estandarizada

Resumen de la sección: En esta sección, se aborda cómo trabajar con una distribución normal que no está estandarizada, es decir, cuando su media no es cero y su desviación estándar no es uno.

Peso de un Modelo de Batería

• Se presenta un problema sobre el peso de cierto modelo de batería que sigue una distribución normal con media 6 gramos y desviación estándar 2 gramos.

• El objetivo es determinar el porcentaje de baterías cuyo peso es mayor a 8 gramos.

Gráfica del Peso del Modelo de Batería

Resumen de la sección: En esta parte, se muestra cómo graficar los datos del peso del modelo de batería para resolver el problema planteado.

Gráfica del Peso

• Se representa el peso del modelo de batería en el eje horizontal.

• La media se coloca en el centro de la campana, en este caso, 6 gramos.

• Se indica que la desviación estándar es 2 gramos.

Cálculo del Porcentaje de Baterías con Peso Mayor a 8 gramos

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular el porcentaje de baterías cuyo peso es mayor a 8 gramos utilizando la distribución normal y las áreas bajo la curva.

Área Bajo la Curva

• Para encontrar el porcentaje de baterías con peso mayor a 8 gramos, se debe determinar el área bajo la curva cuando x es mayor a 8.

• El porcentaje buscado corresponde al área sombreada en la gráfica.

Estandarización para Utilizar Tabla Zeta

Resumen de la sección: En esta parte, se explica cómo estandarizar los valores para poder utilizar una tabla zeta y resolver problemas con distribuciones normales no estandarizadas.

Uso de Tabla Zeta

• Se menciona que existe una tabla zeta que permite encontrar áreas bajo la curva para distribuciones normales estandarizadas.

• Sin embargo, en este caso, los valores no están estandarizados y no corresponden a zetas sino a valores de x.

• Para solucionarlo, es necesario convertir los valores de x a zetas mediante una fórmula específica.

Fórmula para Estandarizar Valores

Resumen de la sección: En esta sección, se presenta la fórmula para estandarizar los valores de x a zetas y poder trabajar con distribuciones normales estandarizadas.

Fórmula de Estandarización

• La fórmula para convertir un valor de x a su equivalente en zeta es: z = (x - media) / desviación estándar.

• Esta fórmula permite obtener el valor de z, que indica cuántas desviaciones estándar se ha alejado x de la media.

Conversión del Valor 8 a Zeta

Resumen de la sección: En esta parte, se muestra cómo convertir el valor 8 a su equivalente en zeta utilizando la fórmula de estandarización.

Conversión a Zeta

• Se desea encontrar el valor equivalente en zeta para x = 8.

• Utilizando la fórmula, se reemplaza x por 8 y se deja z igual.

• El resultado obtenido será el valor correspondiente en zeta.

Cálculo de la desviación estándar y valor de z

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular la desviación estándar y el valor de z en una distribución normal estandarizada.

Cálculo del valor de z

• El valor de z se calcula restando el promedio (media) del valor dado y dividiendo por la desviación estándar.

• Ejemplo: Si x = 8, entonces z = (8 - 6) / 2 = 1.

Representación gráfica en la curva Z

• El valor de z obtenido se representa en la curva Z.

• Si z = 1, se traza una línea vertical a la altura correspondiente al número original (en este caso, 8).

Uso de tabla Zeta

• Para encontrar el área bajo la curva a la derecha del valor dado (x = 8), utilizamos una tabla Zeta.

• Como x = 8 es equivalente a z = 1, buscamos el área correspondiente en la tabla Zeta.

Cálculo del área bajo la curva

• Utilizando la tabla Zeta, encontramos el área a la derecha de la media (área 3).

• Luego restamos el área obtenida anteriormente (área 3) del total (0.5) para obtener el área deseada (área 4).

Cálculo del área bajo la curva

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular el área bajo una curva utilizando una tabla Zeta.

Uso de la tabla Zeta

• La tabla Zeta nos proporciona el valor del área a la derecha de la media (área 3).

• Buscamos en la tabla el valor correspondiente cuando z = 1, que es 0.3413.

Cálculo del área deseada

• El área deseada (área 4) es igual a 0.5 menos el valor obtenido anteriormente (área 3).

• Realizamos la resta: 0.5 - 0.3413 = 0.1587.

Área bajo la curva estandarizada y no estandarizada

• El área bajo la curva estandarizada (z) es igual al área bajo la curva no estandarizada (x).

• Por lo tanto, el área encontrada (0.1587) también representa el porcentaje de baterías cuyo peso es mayor a 8 gramos.

Expresión del porcentaje

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo expresar un porcentaje utilizando los resultados obtenidos anteriormente.

Expresión del porcentaje

• Para expresar el resultado como un porcentaje, multiplicamos el valor encontrado por 100.

• En este caso, multiplicamos 0.1587 por 100 para obtener un resultado de 15.87%.

Probabilidad de precios de acciones

Resumen de la sección: En esta sección, se plantea un problema relacionado con los precios de las acciones y se busca calcular una probabilidad utilizando una distribución normal.

Datos del problema

• Los precios de las acciones en ciertas industrias siguen una distribución normal con una media de 20 dólares y una desviación estándar de 3 dólares.

Cálculo de la probabilidad

• Se desea calcular la probabilidad de que el precio de las acciones se encuentre entre los 18 y 20 dólares.

• Para esto, se debe calcular el área bajo la curva correspondiente a ese rango de precios.

Cálculo del área bajo la curva

Resumen de la sección: En esta sección, se explica cómo calcular el área bajo una curva utilizando los datos proporcionados en el problema anterior.

Uso de la distribución normal

• Utilizando los datos proporcionados (media y desviación estándar), podemos utilizar la distribución normal para calcular el área deseada.

Cálculo del área deseada

• El área deseada es igual al área bajo la curva entre los valores dados (18 y 20 dólares).

• Para obtener este valor, debemos utilizar técnicas estadísticas específicas o software especializado.

Probabilidad de precios de acciones entre 18 y 20 dólares

Resumen de la sección: En esta sección, se busca determinar la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa esté entre los 18 y los 20 dólares. Se utiliza la distribución normal para calcular el área bajo la curva y encontrar las probabilidades.

Estandarización de valores

• La distribución normal estándarizada se trabaja con la variable zeta (z).

• Para estandarizar un valor x a z, se utiliza la fórmula z = (x - media) / desviación estándar.

• Se desea convertir el valor x = 18 a su equivalente en z.

Cálculo del valor de z

• Media (μ) = 20 unidades.

• Desviación estándar (σ) = 3 unidades.

• Aplicando la fórmula, z = (18 - 20) / 3 = -0.67.

Valor simétrico respecto a la media

• La tabla Z solo funciona para valores positivos, por lo que se busca el valor simétrico respecto a la media para z = -0.67.

• El valor simétrico es z = +0.67.

Cálculo del área bajo la curva

• Se busca el área correspondiente al valor z = +0.67 en la tabla Z.

• El área obtenida es 0.2486.

Áreas bajo la curva

• El área sombreada entre los valores x = 18 y x = 20 corresponde al área bajo la curva entre los valores z asociados (+0.67 y -0.67).

• Debido a la simetría de la curva normal, el área 3 (0.2486) es igual al área 2.

Valor del área bajo la curva

Resumen de la sección: En esta sección, se analiza cómo encontrar el valor del área bajo la curva cuando no se encuentra directamente en la tabla Z.

Valor simétrico respecto a la media

• Para valores negativos de z, se busca el valor simétrico respecto a la media cambiando el signo.

• El valor simétrico de -0.67 es +0.67.

Cálculo del área correspondiente

• Se busca en la tabla Z el valor correspondiente al área para z = +0.67.

• El valor obtenido es 0.2486.

Relación entre áreas bajo la curva

• Debido a la simetría de la curva normal, el área 3 (0.2486) es igual al área 2.

Con estos cálculos y considerando las características de simetría de la distribución normal, podemos determinar que hay una probabilidad del 24.86% de que el precio de las acciones esté entre los 18 y los 20 dólares para una empresa en particular dentro de esta industria.

Probabilidad de precios de acciones entre 18 y 20

Resumen de la sección: En esta sección, se calcula la probabilidad de que el precio de las acciones se encuentre entre 18 y 20.

Cálculo de la probabilidad

• El valor de x igual a 18 corresponde a un valor de zeta igual a -0.67.

• La probabilidad de que el precio de las acciones se encuentre entre 18 y 20 es de 0.2486.

Expresión en forma de porcentaje

Resumen de la sección: Aquí se explica cómo expresar la probabilidad en forma de porcentaje.

Expresión en forma de porcentaje

• Para expresar la probabilidad en forma de porcentaje, simplemente multiplicamos el valor obtenido (0.2486) por 100%.

Niveles futuros del curso

Resumen de la sección: Se mencionan los niveles futuros del curso y los tipos de problemas que se abordarán.

Niveles futuros del curso

• En el nivel 3, se abordarán problemas más difíciles que requerirán diferentes análisis.

Nota: Los niveles anteriores (nivel 1 y nivel 2) han presentado problemas más simples y paso a paso.