Getting to Mars: The Hohmann Transfer

Planification d'une mission vers Mars

Introduction à la mission

• Aujourd'hui, nous allons utiliser les concepts explorés dans ma récente vidéo, "Mécanique orbitale 101", pour planifier une mission vers Mars.

• Nous allons examiner combien de temps il faut réellement pour atteindre la planète Mars depuis la Terre.

• Nous discuterons du Delta V, ou changement de vitesse, nécessaire pour effectuer le voyage. Il y aura un peu de mathématiques impliquées, mais vous pouvez sauter cette partie si vous êtes seulement intéressé par le résultat clé.

Détails du voyage

• Nous verrons également quand il est nécessaire de lancer notre fusée afin de ne pas manquer la planète Mars.

• Enfin, nous aborderons la question de savoir s'il vaut mieux faire un voyage aller simple vers Mars ou une mission retour.

Diagramme orbital

• Un diagramme montre le système solaire interne avec le Soleil, la Terre et Mars.

• La Terre orbite autour du Soleil à une distance que nous appellerons R1 (une unité astronomique), tandis que Mars orbite plus loin à une distance appelée R2.

Changement de vitesse nécessaire

• Pour atteindre Mars, nous devons augmenter notre vitesse en ajoutant un petit delta V1.

• Ce changement de vitesse transformera notre orbite circulaire en une orbite elliptique qui s'étendra jusqu'à ce que nous soyons à la même distance du Soleil que Mars.

Calcul du temps de trajet

• Pour déterminer combien de temps nous passerons sur cette orbite de transfert, nous utilisons la troisième loi de Kepler.

• Cette loi stipule que le carré du temps d'une orbite complète (en années) est égal au cube du demi-grand axe de l'orbite.

Distance et période orbitale

• La distance entre les points les plus proches et les plus éloignés dans l'orbite elliptique est donnée par deux fois le demi-grand axe.

• En utilisant des unités astronomiques, on trouve que A = 1 + 1.52366 / 2 = 1.26183 unités astronomiques.

Résultat final sur le temps

• En substituant A dans la troisième loi de Kepler et en prenant la racine carrée, on obtient une période d'environ 1.417 ans sans ajustement supplémentaire.

• Comme nous ne parcourrons qu'une moitié d'ellipse lors du transfert vers Mars, il faut diviser ce chiffre par deux : cela donne environ 0.71 ans ou 8.5 mois.

Considérations supplémentaires

• L'orbite de Mars n'est pas parfaitement circulaire mais plutôt elliptique; cet aspect a été négligé dans nos calculs initiaux.

• D'autres influences comme celle gravitationnelle massive de Jupiter près de Mars peuvent également affecter notre trajectoire.

Équations nécessaires pour Delta V

• Maintenant que nous avons établi combien de temps il faudra pour atteindre Mars, je vais mettre en place quelques équations nécessaires pour calculer notre delta V.

Calcul des vitesses orbitales et conservation de l'énergie

Vitesse à l'apogée et ajout de vitesse

• Lorsqu'on atteint l'apogée, on ajoute une petite quantité de vitesse pour obtenir V2. L'équation d'intérêt concerne la vitesse à l'apogée, qui est inférieure à V2.

Équations nécessaires pour VP et VAR

• Bien que nous connaissions déjà V1 et V2, nous devons déterminer VP et VAR. Pour cela, deux équations sont nécessaires : la conservation de l'énergie et la conservation du moment angulaire.

Conservation du moment angulaire

• Le moment angulaire est donné par la masse de la fusée multipliée par sa vitesse au périhélie (R1). Ce moment doit être égal au moment angulaire à l'aphélie (VA * R2).

Conservation de l'énergie

• L'énergie au périhélie est calculée comme un terme cinétique moins un terme potentiel. Cette énergie doit également être égale à celle mesurée à l'aphélie.

Simplification des équations

Expression simplifiée pour VP

• En simplifiant les fractions, on obtient une expression pour VP en termes des distances R1 et R2 ainsi que de G (constante gravitationnelle).

Résultat final pour VP

• La formule finale pour VP devient plus simple : VP^2 = frac2G cdot M_soleil cdot R_2R_1(R_1 + R_2).

Calcul des variations de vitesse

Delta V1

• Pour obtenir delta V1, il suffit de soustraire V1 de VP. Cela donne une première expression pour delta V1 en fonction des paramètres orbitaux.

Delta V2

• Pour calculer delta V2, on remplace le résultat trouvé pour VP dans une autre équation afin d'obtenir VA puis on soustrait VA de V2.

Résultats finaux importants

• Les résultats finaux sont présentés sous forme d'expressions claires pour delta V1 et delta V2, essentielles pour comprendre les manœuvres orbitales.

Valeurs numériques des variations de vitesse

Estimation numérique

Quand lancer une fusée vers Mars ?

Vitesse et Delta V

• La vitesse de 94 kilomètres par seconde est mentionnée, avec un delta V2 légèrement inférieur à 2.

Timing du lancement

• Il est crucial de déterminer le moment idéal pour lancer la fusée afin d'atteindre Mars, car un lancement au mauvais moment pourrait entraîner un échec de la mission.

• La question centrale est : où doit se situer Mars dans son orbite au moment du lancement ?

Calcul des angles et des périodes

• Pour résoudre ce problème, on utilise l'angle grec FETA pour calculer le temps nécessaire pour atteindre Mars en suivant une orbite elliptique.

• Un ratio est établi entre le temps de voyage et la période orbitale de Mars autour du Soleil.

Détermination de l'angle FETA

• L'angle que parcourt Mars entre deux points dans le temps est calculé comme 180 degrés moins FETA, divisé par 360 degrés.

• En effectuant les calculs nécessaires, on détermine que FETA doit être égal à 44 degrés pour garantir que la fusée atteigne Mars.

Retour depuis Mars : Mission aller simple ou retour ?

Équation des fusées

• Une comparaison rapide entre les missions aller simple et retour est faite en utilisant l'équation des fusées qui relie delta V aux besoins en carburant.

Impact sur la masse du vaisseau

• L'équation indique que le rapport entre la masse finale et initiale du vaisseau spatial dépendra du delta V requis pour revenir de Mars.

Comparaison des missions

• Si le delta V nécessaire pour revenir augmente d'un facteur de 2, cela entraîne une réduction significative (d'un facteur de 7.4) du rapport entre la masse finale et initiale.

Réflexion sur les missions