MECÁNICA RACIONAL - Clase 37: Cinemática de los Movimientos Dependientes

Los movimientos dependientes en la mecánica

Resumen de la sección: En esta sección, el profesor Jorge Alejandro explica el concepto de movimiento dependiente como complemento de la cinemática del punto material. Se destaca la conexión y dependencia entre partículas en este tipo de movimiento.

Movimiento dependiente y conexión entre partículas

• El movimiento dependiente implica una conexión entre partículas.

• Existe una relación o dependencia entre los movimientos de las partículas.

Relación entre desplazamientos, velocidades y aceleraciones

• Los cuerpos representados por las partículas A y B están ligados en movimientos dependientes.

• La relación entre los desplazamientos de A y B está relacionada con las poleas.

• El objetivo es estudiar la relación entre estos desplazamientos para encontrar la relación entre velocidades y aceleraciones.

Análisis del caso con cuerdas extensibles

• Se asume que las cuerdas son extensibles y no cambian su longitud antes ni después del evento.

• Se puede derivar la igualdad respecto al tiempo para encontrar la relación de velocidades.

• La longitud total de la cuerda permanece constante, lo que implica que las derivadas respecto al tiempo deben sumar cero.

• Las velocidades y aceleraciones son iguales pero opuestas en los bloques A y B.

Ejemplo lineal de movimiento dependiente

Resumen de la sección: En este ejemplo, se muestra un caso lineal donde se analiza la relación entre los movimientos, desplazamientos, velocidades y aceleraciones.

Descripción del ejemplo

• Se presenta un juego de poleas con una polea más pequeña y un bloque A que se mueve horizontalmente.

• Se considera la distancia SA desde la polea hasta el bloque A.

• La longitud del arco de la cuerda también es relevante en este caso.

Relación entre desplazamientos y longitud total

• La longitud total de la cuerda es igual a la suma de SA, la longitud del arco y otra distancia hasta el bloque B.

• Esta longitud total no cambia antes ni después del evento.

Derivación respecto al tiempo

• Al derivar esta igualdad respecto al tiempo, se encuentra que las velocidades y aceleraciones son iguales a cero para los bloques A y B.

Ejemplo no lineal de movimiento dependiente

Resumen de la sección: En este ejemplo, se muestra un caso no lineal donde se debe analizar más detalladamente la relación entre los movimientos, desplazamientos, velocidades y aceleraciones.

Descripción del ejemplo

• Se presenta un juego de poleas con una polea fija inferior y una superior que puede rotar.

• Hay una altura fija (h) entre las dos poleas.

Análisis más complejo

• En este caso, se deben considerar diferentes referencias posicionales y cambios en signos.

• Se busca encontrar la relación entre los movimientos y las relaciones entre desplazamientos, velocidades y aceleraciones.

Conclusiones finales

Resumen de la sección: El profesor concluye destacando que se ha encontrado la relación entre los posibles movimientos en casos lineales y no lineales. También menciona que hay otros ejemplos más complejos que se pueden analizar.

Relación entre movimientos y desplazamientos

• Se ha encontrado la relación entre los posibles movimientos en casos lineales y no lineales.

• La derivada de los desplazamientos proporciona información sobre las velocidades y aceleraciones.

Posibilidad de ejemplos más complejos

• Se menciona que existen otros ejemplos más complejos que se pueden analizar en relación con el movimiento dependiente.

Relación de desplazamiento entre v y p

Resumen de la sección: En esta sección, se analiza la relación de desplazamiento entre v (velocidad) y p (pesa). Se establece que la longitud total de la cuerda no cambia antes y después del evento. Se definen las longitudes l1, l2 y l4 como segmentos relevantes en el análisis. Además, se menciona que la longitud total en el segundo caso será l + 1.

• La longitud de arco de la pelea también permanece constante.

• La longitud total es igual a l + 3h + s.

• Al derivar respecto al tiempo, se obtiene que la velocidad de a es dos veces la velocidad de b en sentido contrario.

• La aceleración también puede ser calculada mediante una derivada.

Ejemplo: Movimiento dependiente en un sistema con poleas

Resumen de la sección: En este ejemplo, se plantea un problema donde un bloque es levantado por un camión mediante un sistema con poleas. El camión tiene una aceleración constante. Se busca determinar la velocidad del bloque cuando el camión se ha desplazado cierta distancia.

• El movimiento del bloque está relacionado con el movimiento del camión.

• Se utiliza el análisis cinemático para resolver el problema.

• Se establece que el bloque tiene un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

• Se realiza una conversión para independizarse del tiempo utilizando diferencial de velocidad respecto al desplazamiento.

• La solución final muestra cómo queda expresada la velocidad en función de la posición.

Conclusiones

En este video tutorial, se abordan conceptos relacionados con la relación de desplazamiento entre v y p, así como un ejemplo práctico de movimiento dependiente en un sistema con poleas. Se enfatiza la importancia de comprender estas relaciones para resolver problemas cinemáticos.

Expresión de interés

Resumen de la sección: En esta sección, se menciona la expresión de interés y se hace referencia a la aceleración constante en un ejercicio. Se destaca que cuando la aceleración es variable, debe ser incluida dentro de una integral.

Expresión de interés y aceleración constante

• La expresión de interés es mencionada en relación con la aceleración constante.

• Se enfatiza que en un ejercicio con aceleración variable, esta debe ser incluida dentro de una integral.

Velocidad y longitud del arco

Resumen de la sección: En esta sección, se aborda el análisis de la relación entre velocidades y el desplazamiento. También se discute cómo determinar la longitud del arco en las poleas.

Relación entre velocidades y desplazamiento

• Se analiza cómo el camión se desplaza hacia la derecha mientras el bloque B asciende.

• Se establece que estas distancias tienen una relación directa y ocurren tres veces.

• Se menciona que estas distancias están relacionadas con las longitudes del arco en las poleas.

Longitud del arco en las poleas

• Se plantea que la longitud del arco puede ser calculada utilizando una fórmula específica.

• La fórmula para calcular la longitud del arco involucra los valores x e y subcero al cuadrado.

• Esta longitud del arco debe ser igual a la longitud total de la cuerda.

Velocidad del bloque B

Resumen de la sección: En esta sección, se determina la velocidad del bloque B y se destaca que su valor es negativo debido a su movimiento ascendente.

Determinación de la velocidad del bloque B

• Se utiliza la información previa para calcular la velocidad del bloque B.

• Se realiza una serie de cálculos utilizando las condiciones dadas en el enunciado.

• La velocidad del bloque B se obtiene como resultado y se establece que su valor es negativo debido a su movimiento ascendente.

Conclusión

Resumen de la sección: En esta última sección, se concluye el ejercicio resuelto y se menciona que el procedimiento utilizado puede ser aplicado a problemas similares.

Conclusión

• Se finaliza el ejercicio resuelto y se destaca que el procedimiento utilizado puede ser aplicado a problemas similares.

• Se menciona que los cálculos realizados deben ser verificados para asegurar su precisión.

Movimiento de la polea móvil

Resumen de la sección: En esta sección, se analiza el movimiento de la polea móvil y se busca determinar la velocidad de aceleración del bloque C cuando su distancia recorrida es de un metro.

Relación entre desplazamientos y longitud total de la cuerda

• La polea móvil se desplaza hacia abajo a una velocidad constante de 4 m/s.

• La longitud total de la cuerda no varía y es igual a 44 metros.

• La longitud que nos interesa para saber en todo momento es 4 - s, donde s es el desplazamiento del bloque C.

Determinación de la longitud de la cuerda en todo momento

• Podemos sumarle a 4 - s la longitud que será igual a √(y^2 + 4^2), donde y es el desplazamiento del bloque A.

• Dado que la longitud total es igual a 44 metros, podemos establecer la ecuación: √(y^2 + 16) = 44.

Relación entre los desplazamientos d y c

• Cuando s = 1 metro, tenemos que y = 3 metros.

• Por lo tanto, en ese instante, la relación entre los desplazamientos d y c es: d = 4 - s = 4 - 1 = 3 metros.

Velocidad del bloque C

• La velocidad del bloque C en este instante considerado es igual a cuatro metros por segundo.

Determinación de las velocidades

Resumen de la sección: En esta sección, se determina la velocidad del sistema cuando el bloque C se eleva a un metro.

Relación entre velocidades

• La velocidad de C es igual a la derivada de la raíz cuadrada de y^2 + 4^2, donde y es el desplazamiento del bloque A.

• Dado que y = 3 metros en este instante, podemos calcular la velocidad de C: v_c = (12/5) m/s.

Determinación de la relación de aceleraciones

Resumen de la sección: En esta sección, se busca determinar la relación entre las aceleraciones del sistema.

Relación entre aceleraciones

• La relación entre las aceleraciones está dada por: a_d - a_c = (d/dt)(√(y^2 + 4^2)) - (√(y^2 + 4^2))(dy/dt).

• Al simplificar esta expresión, obtenemos: √(y^2 + 16) - y(dy/dt) = 0.

Conclusiones

En resumen, se analizó el movimiento de una polea móvil y se determinaron la velocidad y la relación de aceleraciones del sistema en diferentes situaciones. Se utilizó la longitud total de la cuerda y los desplazamientos para obtener estas respuestas.

Relación de aceleración y desplazamiento

Resumen de la sección: En esta sección, se explora la relación entre la aceleración y el desplazamiento en un sistema. Se muestra cómo manipular las ecuaciones para obtener una relación entre estas dos variables.

Relación de aceleración y desplazamiento

• La relación entre la aceleración y el desplazamiento se puede obtener al igualar una ecuación negativa a cero.

• Al realizar manipulaciones algebraicas, se puede encontrar una expresión que relaciona el desplazamiento con la aceleración.

• Esta relación permite determinar la velocidad de elevación de un bloque cuando el motor enrolla el cable a velocidad constante.

Relación entre desplazamientos, velocidades y aceleraciones

Resumen de la sección: En esta sección, se encuentra la relación entre los desplazamientos, velocidades y aceleraciones cuando un bloque se eleva un metro.

Relación entre desplazamientos, velocidades y aceleraciones

• Se encuentra una relación entre los desplazamientos, velocidades y aceleraciones al considerar un punto característico en una cuerda.

• Si hay una velocidad de subida en ese punto característico, existe una posición válida donde la longitud total es igual a x más dos veces la raíz cuadrada de x^2 + y^2.

• Al derivar esta expresión con respecto al tiempo, se obtiene otra expresión que relaciona las velocidades.

• Esta relación permite determinar la velocidad de elevación del bloque cuando el motor enrolla el cable a velocidad constante.

Relación de velocidades con motor a velocidad constante

Resumen de la sección: En esta sección, se determina la relación de velocidades cuando el motor enrolla el cable a velocidad constante.

Relación de velocidades con motor a velocidad constante

• Si el motor atrae el cable con velocidad constante, la velocidad de elevación del bloque está dada por una expresión específica.

• La relación de velocidades depende de la raíz cuadrada del cuadrado más y^2 dividido por 2s, multiplicado por el peso del bloque.

• Esta expresión permite calcular la velocidad de elevación en función de los parámetros dados.

Movimientos dependientes con dos motores

Resumen de la sección: En esta sección, se analiza cómo los movimientos dependientes pueden aplicarse cuando hay dos motores que traccionan las cuerdas.

Movimientos dependientes con dos motores

• Cuando hay dos motores que traccionan las cuerdas, es posible vincular los movimientos utilizando el concepto de movimientos dependientes.

• La aceleración desde puede asociarse directamente con la aceleración hacia si no hay poleas intermedias entre los puntos A y B.

• La aceleración desde será igual a -5 m/s^2 y la aceleración hacia estará dada por otra ecuación.

• Esta relación permite analizar los movimientos en función de las aceleraciones proporcionadas por los motores.

Ley de aceleración y posición inicial

Resumen de la sección: En esta sección, se introduce la ley de aceleración y se discute la posición inicial en relación a un punto de referencia.

Ley de aceleración y posición inicial

• La distancia entre los extremos izquierdos del bloque A es originalmente de 3 metros.

• Se utiliza la ley de aceleración para calcular la velocidad y posición del bloque A.

• La posición se calcula considerando la posición inicial con respecto al punto de referencia adoptado.

• Se plantea una ecuación interesante para analizar qué sucede cuando la distancia entre los bloques es igual a cero.

Desplazamiento del bloque B hacia la derecha

Resumen de la sección: En esta sección, se analiza el desplazamiento del bloque B hacia la derecha en relación al punto C.

Desplazamiento del bloque B hacia la derecha

• Se plantea cómo avanza el punto C a medida que el bloque B se desplaza hacia la derecha.

• Se realiza un croquis representativo para visualizar lo que sucede durante el desplazamiento.

• El análisis cinemático muestra que el punto C avanza una distancia x mientras que el punto A retrocede esa misma cantidad.

• Se establece una relación entre las velocidades y aceleraciones del bloque A y B.

Relación entre desplazamientos y cuerdas enrolladas

Resumen de la sección: En esta sección, se explora otra forma de ver las relaciones entre los desplazamientos utilizando conceptos de cuerpos rígidos.

Relación entre desplazamientos y cuerdas enrolladas

• Se plantea la posibilidad de utilizar herramientas de cuerpos rígidos para analizar las relaciones entre los desplazamientos.

• Se menciona que se puede pensar en términos de cuerpo rígido, pero no se profundiza en este enfoque.

Cálculo del tiempo y velocidad relativa

Resumen de la sección: En esta sección, se calcula el tiempo para que la distancia entre los bloques sea cero y se determina la velocidad relativa entre ellos.

Cálculo del tiempo y velocidad relativa

• Se realiza una ecuación cuadrática para determinar el tiempo en el cual la distancia entre los bloques es igual a cero.

• La ecuación cuadrática involucra la variable independiente a la cuarta potencia.

• Se menciona que es posible resolver esta ecuación sin dificultades.

• Para calcular la velocidad relativa, se resta la velocidad del bloque B a la velocidad del bloque A.

Otra perspectiva: Herramientas de cuerpo rígido

Resumen de la sección: En esta sección, se menciona brevemente otra forma de abordar el problema utilizando herramientas de cuerpo rígido.

Otra perspectiva: Herramientas de cuerpo rígido

• Se plantea que también es posible utilizar herramientas de cuerpo rígido para analizar las relaciones entre los desplazamientos.

• No se profundiza en este enfoque y no se proporcionan detalles adicionales.

Movimiento dependiente y relaciones de aceleraciones

Resumen de la sección: En esta sección se aborda el concepto de movimiento dependiente y las relaciones de aceleraciones en un sistema. Se explora cómo la geometría y configuración del sistema influyen en los desplazamientos, velocidades y aceleraciones.

Movimiento dependiente y velocidad cero

• El tramo de cable en el extremo superior está en reposo, lo que significa que su velocidad es igual a cero.

• El punto se acelera debido a la atracción del motor. Después de cierto tiempo, tendrá una velocidad no nula.

Centro instantáneo de rotación

• El punto donde el diagrama de características de velocidades corresponde al centro instantáneo de rotación.

• Se puede trazar el diagrama de características de velocidades para comprender mejor las relaciones entre los puntos representativos del bloque.

Relación entre velocidades

• La mitad del recorrido respecto al punto representativo implica que la velocidad "a" es igual a la mitad de la velocidad "s".

• La relación entre las velocidades puede ser útil para analizar situaciones futuras relacionadas con cinemática del cuerpo rígido.

Relación entre aceleraciones

• Las aceleraciones tangenciales son relevantes para estudiar la traslación del bloque, mientras que las aceleraciones normales pueden ser desestimadas en este contexto.

• Las relaciones entre las aceleraciones verifican la misma relación que las velocidades.

Movimientos dependientes y ligaduras

• Los movimientos dependientes suelen darse a través de cuerdas inextensibles o cuerpos rígidos que no modifican la distancia entre dos puntos de interés.

• La condición de ligadura es fundamental para analizar estos movimientos y propagar la información cinemática del sistema.

Conclusiones y recomendaciones

Resumen de la sección: En esta sección se presentan conclusiones finales sobre el análisis de movimientos dependientes y se brindan recomendaciones para abordar casos específicos.

• No existe una regla general para abordar los movimientos dependientes, es necesario observar cada caso individualmente y sacar conclusiones en función de la geometría y configuración del sistema.

• Es importante estudiar la dependencia de los desplazamientos, derivar las relaciones de velocidades y, si es necesario, derivar nuevamente para obtener las relaciones de aceleraciones.

• Los movimientos dependientes suelen darse a través de cuerdas inextensibles o cuerpos rígidos que no modifican la distancia entre dos puntos relevantes.

• El análisis adecuado de las ligaduras permite sostener y propagar información cinemática en el sistema estudiado.