Función Racional - Ejercicios Nivel 1 - Introducción

Introducción a las Funciones Racionales

Definición de Función Racional

• Jorge introduce el tema de funciones racionales, explicando que son expresiones de la forma f(x) = p(x)/q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios.

• Se enfatiza que el denominador q(x) no puede ser nulo, es decir, debe ser diferente del polinomio cero.

Ejemplos de Funciones Racionales

• Se presentan ejemplos simples como f(x) = x^2 + 1/x - 3 , demostrando que ambas partes son polinomios.

• Otro ejemplo incluye una función con un número constante en el numerador: f(x) = x^3 - 8/x + 1 .

Gráficas de Funciones Racionales

Diferencias con Gráficas Polinómicas

• Jorge menciona que las gráficas de funciones racionales son diferentes a las gráficas de funciones polinómicas, siendo más complejas debido a los puntos indefinidos y asíntotas.

Ejemplo Clásico

• Se presenta la gráfica de la función clásica f(x)=1/x , destacando su comportamiento cerca del valor donde el denominador se hace cero.

Dominio de Funciones Racionales

Importancia del Denominador

• Jorge explica que cuando el denominador se convierte en cero, se obtiene un valor no definido, lo cual es crucial para determinar el dominio.

Cálculo del Dominio

• Se establece la regla general: el denominador debe ser diferente de cero. Esto simplifica calcular el dominio al excluir valores problemáticos.

Ejemplos Prácticos sobre Dominio

Ejemplos Específicos

• Primer ejemplo: f(x)=1/x , donde se identifica un polinomio en el numerador y uno en el denominador.

¿Qué son las funciones racionales?

Introducción a las funciones racionales

• Se presenta la idea de que una función puede ser lineal o polinómica de grado 1, y se menciona que también puede ser una función racional.

• Se explica cómo expresar una función racional como un polinomio en el numerador y un número en el denominador, destacando que esto no presenta problemas.

Ejemplos de funciones racionales

• Se introduce un nuevo ejemplo: f(x) = x^2 + x , que es otra función racional. Se muestra cómo se puede representar como una división entre polinomios.

• En este caso, el numerador es un polinomio de grado 2 y el denominador es un número (polinomio de grado 0).

Polinomios y sus restricciones

• Se discute otro ejemplo con f(x) = 1/sqrtx+1 , donde se identifica que el numerador es un polinomio de grado 0.

• Sin embargo, se aclara que sqrtx no es considerado un polinomio debido a su exponente fraccionario, lo cual impide clasificarlo como una función racional.

Más ejemplos y definiciones

• Se menciona otro caso con exponentes fraccionarios en el numerador, reafirmando que solo los enteros no negativos son válidos para definir polinomios.

• La conclusión es que si hay exponentes fraccionarios en cualquier parte del cociente, no se trata de una función racional.

Intersecciones, dominio y rango

Problemas clásicos con funciones racionales

• Se plantea un problema clásico sobre intersecciones con la función f(x) = 1/x+2 .

• Para encontrar la intersección con el eje X, se iguala la función a cero. Esto lleva a establecer condiciones para resolver la ecuación.

Resolución del problema

• Al multiplicar por el denominador para despejar la variable x , se llega a una inconsistencia: 0 = 1 .

• Esta inconsistencia indica que no hay intersección con el eje X.

Intersección con el eje Y

• A continuación, se busca calcular la intersección con el eje Y al reemplazar x = 0 .

Análisis de Intersecciones, Dominio y Rango de Funciones

Intersección con los Ejes

• Se establece la intersección de la función en el plano cartesiano, comenzando por el valor de x que es 0 y el valor de y que es 1/2.

• La intersección con el eje y se encuentra en el punto (0, 1/2), confirmando que ya se han determinado las intersecciones.

Cálculo del Dominio

• El dominio se refiere a los posibles valores de x. Para encontrarlo, se despeja la función y = 1/x + 2.

• Se identifica que para evitar problemas en la división, el denominador debe ser diferente de cero. Por lo tanto, x + 2 neq 0.

• Al resolver la restricción, se concluye que x neq -2, estableciendo así una única restricción para el dominio.

• El dominio final se expresa como: x in mathbbR setminus -2, indicando que puede tomar cualquier valor real excepto -2.

Cálculo del Rango

• El rango representa los posibles valores para la variable y. Se comienza nuevamente desde la función original.

• Al despejar x, se reorganizan los términos para facilitar su resolución.

• Se determina que al igualar a cero el denominador también debe ser diferente de cero para establecer restricciones adicionales.

• Finalmente, se concluye que el rango es: y in mathbbR setminus 0, lo cual significa que puede tomar cualquier valor real excepto 0.

Comportamiento de la Función

• Se plantea un nuevo problema sobre cómo se comporta la función cuando x tiende a -2. Esto implica revisar las restricciones previamente establecidas.

Comportamiento de la Función al Aproximarse a -2

Introducción a la Gráfica y Restricciones

• La función tiene una restricción en x, donde no puede tomar el valor de -2. Esto se representa con una cinta vertical en la gráfica.

• La gráfica se divide en dos porciones: una a la izquierda de -2 y otra a la derecha. Esto es crucial para entender el comportamiento de la función alrededor de este punto.

Análisis del Comportamiento Izquierdo

• Al aproximarse a -2 desde la izquierda, se utilizan valores como -2.1 y -2.01 para evaluar f(x). Estos valores muestran cómo se comporta la función cerca del límite prohibido.

• Se observa que conforme nos acercamos a -2 por la izquierda, los valores de f(x) tienden hacia el infinito negativo, lo que indica un comportamiento asintótico hacia abajo.

Evaluación Numérica

• Se realizan cálculos específicos para determinar los valores de f(x) cuando x toma valores cercanos a -2 desde la izquierda:

• Para x = -2.1, f(-2.1) resulta en aproximadamente 10.

• Para x = -2.01, f(-2.01) da un resultado cercano a 1000 negativos al continuar acercándose más al límite prohibido.

Comportamiento Derecho

• Al analizar el lado derecho de -2, se escogen valores como -1.9 y se calcula su efecto sobre f(x):

• Por ejemplo, para x = -1.9, el resultado es positivo (10), indicando que al acercarse desde esta dirección los valores son positivos y crecen rápidamente hacia arriba conforme nos acercamos más a menos dos desde este lado también hay un cambio significativo en los resultados obtenidos con otros puntos cercanos como (-1.99).

Conclusiones sobre el Comportamiento General

• El análisis revela que mientras nos aproximamos a x = -2 por diferentes lados (izquierda o derecha), los resultados divergen significativamente:

• Desde la izquierda tiende al infinito negativo.

• Desde la derecha tiende hacia números positivos altos.

Esto resalta cómo las funciones pueden tener comportamientos radicalmente diferentes dependiendo del enfoque hacia puntos críticos o discontinuidades en su dominio matemático generalizado.

Comportamiento de la Función al Aproximarse a -2

Análisis del Comportamiento de la Función

• Se establece que cuando x toma el valor de -1.9, el valor de g(f(x)) se incrementa significativamente, alcanzando valores como 1300.

• A medida que nos acercamos a -2 desde la derecha (por ejemplo, -1.999), los valores de f(x) continúan creciendo hacia el infinito positivo.

• El comportamiento observado indica que f(x) tiende al infinito positivo cuando x se aproxima a -2 por la derecha.

Comportamiento en Diferentes Direcciones

• Se concluye que f(x) tiende al infinito negativo cuando x se aproxima a -2 por la izquierda.

• La gráfica muestra claramente este comportamiento dual: un lado tiende al infinito positivo y el otro al negativo.

Intersecciones, Dominio y Rango de la Función

Análisis Gráfico

• En el problema 1, se busca determinar las intersecciones con los ejes y el dominio/rango de la función 1/x .

• Se observa que no hay intersección con el eje X; sin embargo, sí hay una intersección con el eje Y en (0, 0.5).

Comportamiento en torno a -2

• Al analizar cómo se comporta la función cerca de -2, se confirma que:

• Por la izquierda: f(x) to -infty

• Por la derecha: f(x)to +infty

Problema Número 5: Intersecciones y Asintotas

Identificación de Intersecciones

• En este problema se requiere encontrar las intersecciones con los ejes y definir dominio/rango utilizando una gráfica proporcionada.

• Para encontrar la intersección con el eje X, se determina donde y = 0. La curva corta en (3, 0).

Interacción con Eje Y

• Al buscar intersección con el eje Y ( x = 0), se encuentra que corta en (0, +3).

Definición de Asintotas

Análisis de la Ecuación de una Cinta Horizontal

Identificación de Puntos en la Cinta

• Se identifican puntos sobre un asiento horizontal, comenzando con el punto donde x = 0 y y = 2.

• Otro punto se encuentra en x = 2 y y = 2, mostrando que todos los puntos tienen una característica común.

• La característica común es que el valor de y es siempre igual a 2, lo que lleva a la ecuación de la cinta: y = 2.

Ecuación del Asiento Horizontal

• La función resultante es constante, confirmando que la ecuación del asiento horizontal es y = 2.

Análisis de la Ecuación de una Cinta Vertical

Identificación de Puntos en la Cinta Vertical

• Se busca establecer la ecuación para una cinta vertical observando su representación gráfica.

• Un punto identificado tiene coordenadas x = 2 y y = 0; otro punto tiene x = 2 y y = -2.

• Todos estos puntos comparten el mismo valor para x (x = 2), lo que establece que la ecuación vertical es simplemente x = 2.

Confirmación de Intersecciones

• Se confirma que al contar las intersecciones se obtiene nuevamente x igualado a dos.

Dominio y Rango de las Funciones

Dominio

• El dominio incluye todos los valores posibles para x desde menos infinito hasta más infinito, excluyendo el valor +2.

• Esto se expresa como: "x pertenece al conjunto de los reales excepto el +2".

Rango

• El rango muestra cómo varía el valor de y desde menos infinito hasta más infinito, también excluyendo el +2.

• Por lo tanto, se concluye que el rango también pertenece al conjunto de los reales excepto el +2.

Conclusión del Problema

Resumen Final

• Se ha completado un análisis exhaustivo sobre las funciones horizontales y verticales, así como sus dominios y rangos.