ECUACIONES DE 2° GRADO (MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS)

Completando Cuadrados en Ecuaciones de Segundo Grado

Introducción al Método

• El licenciado Bolívar presenta el tema de ecuaciones de segundo grado, enfocándose en el método de completar cuadrados.

• Se establece que el coeficiente del término cuadrático debe ser 1; para lograr esto, se divide toda la ecuación por 'a'.

• Es esencial que exista un término lineal (B/a * x) en la ecuación para aplicar correctamente el método.

Consejos y Teoremas Fundamentales

• Se mencionan axiomas importantes como el binomio elevado al cuadrado y la diferencia de cuadrados.

• Se introduce un teorema clave: a * b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0, fundamental para resolver las ecuaciones.

Ejemplo Práctico: Primer Caso

• Se presenta una primera ecuación: x² + 4x - 5. Aunque se puede resolver por factorización, se opta por completar cuadrados.

• Para completar cuadrados, se divide el coeficiente del término lineal entre dos y se eleva al cuadrado; aquí es (4/2)² = 4.

• La expresión resultante es x² + 4x + 4 - 9 = 0, transformándose en un binomio elevado al cuadrado.

Desarrollo del Binomio

• La expresión se simplifica a (x + 2)² - 9 = 0. Aquí se aplica la diferencia de cuadrados.

• Al desarrollar usando el teorema mencionado, obtenemos dos soluciones: x - 1 = 0 o x + 5 = 0.

Segundo Ejemplo: Resolviendo Ecuaciones con Completar Cuadrados

• En este caso, se busca determinar las raíces de la ecuación y² - y - 2 = 0 utilizando completar cuadrados.

• Se recalca que aunque hay métodos alternativos como factorización, este enfoque será útil para otras formas geométricas.

Completando Cuadrados en el Segundo Ejemplo

• Para completar cuadrados aquí, tomamos (1/2)² como parte del proceso; siempre sumamos esta cantidad positiva independientemente del signo del término lineal.

Understanding the Method of Completing Squares

Solving Quadratic Equations

• The expression -1/2 = 9/4 can be manipulated to extract square roots, resulting in pm 1/2 + sqrt9/4. This utilizes properties of square roots to simplify expressions.

• After simplification, the expression results in two potential solutions: 1 + 3/2 and 1 - 3/2, leading to final values of 2 and -1.

Example 3: Finding Roots of a Quadratic Expression

• The next example involves finding the roots of the quadratic equation 2t^2 - 3t - 4 = 0. A prerequisite for completing the square is that the coefficient of t^2 must equal one.

• To achieve this, divide all terms by 2, transforming it into t^2 - 3/2 t - 2 = 0. This sets up for completing the square.

• The central term's half, which is 3/4, is squared. Adjustments are made to maintain equality by subtracting this squared value from both sides.

• The equation simplifies to find that t - 3/4 = pm sqrt41/16. This leads to solutions expressed as t = 3/4 + pm fracsqrt414.

Conclusion on Completing Squares