MAÎTRISER LA CINÉMATIQUE : repères cartésien, cylindrique, sphérique et Frenet en action

Introduction à la cinématique

Concepts de base

• Cette vidéo aborde la cinématique, en se concentrant sur des notions clés telles que le référentiel d'observation, le vecteur position, le vecteur vitesse et l'accélération.

• L'objectif est d'exprimer ces vecteurs dans différents repères : cartésien, cylindrique et sphérique.

Référentiels et Vecteurs

Définition du Référentiel

• Pour étudier le mouvement d'un point matériel (point M), il est nécessaire de définir un solide de référence. Dans ce cas, l'écran est utilisé comme solide de référence.

• Un référentiel est défini par un solide de référence et un repère temporel. Ici, le repère temporel correspond à la durée de la vidéo.

Vecteur Position

• La position du point M par rapport à une origine fixe (point 0 sur l'écran) est décrite par le vecteur position.

• La norme du vecteur position s'exprime en mètres et peut varier au cours du temps.

Vitesse et Accélération

Vitesse

• La vitesse d'un point matériel est définie comme le rapport entre la distance parcourue et le temps écoulé. Cela donne lieu à la formule V = D/Delta t .

• Pour obtenir la vitesse instantanée, on utilise les variations élémentaires de position (dOM) et de temps (DT), menant à v = dOM/DT .

Accélération

• L'accélération résulte de la variation de la vitesse. Elle se définit comme étant égale à la dérivée temporelle du vecteur vitesse.

Repères Cartésiens

Construction du Repère

• Le repère cartésien comprend trois axes orthogonaux (X, Y, Z). Les vecteurs unitaires sont tracés pour former un repère orthonormé.

• Le vecteur position OM peut être exprimé en fonction des coordonnées projetées sur les axes X, Y et Z.

Calcul des Vitesses

• La vitesse est calculée comme étant la dérivée du vecteur position. On applique les règles de dérivation pour chaque composante.

Vecteurs Unitaires Constantes

Dérivées Temporelles Nuls

• Les vecteurs unitaires ne dépendent pas du temps; leur dérivée temporelle est donc nulle. Cela simplifie les calculs lors de l'évaluation des vitesses.

Repères Cylindriques

Introduction au Repère Cylindrique

• Le passage au repère cylindrique implique une dépendance vis-à-vis d'un angle theta . Ce système nécessite également une projection différente pour représenter les coordonnées.

Calcul des Vitesses dans ce Système

Dérivation du vecteur position et vitesse

Dérivée du vecteur er

• Le produit r cdot e_r est dérivé, où e_r dépend de l'angle theta , qui varie dans le temps.

• Un schéma est utilisé pour visualiser les axes X, Y et les vecteurs unitaires e_x et e_y , ainsi que le vecteur e_r .

• La projection de e_r sur la base donne : e_r = cos(theta)e_x + sin(theta)e_y.

• Pour le vecteur e_theta, on utilise la relation trigonométrique pour obtenir : e_theta = -sin(theta)e_x + cos(theta)e_y.

• On dérive ensuite le vecteur e_r, en multipliant par la dérivée temporelle de l'angle.

Vecteur vitesse

• La dérivée temporelle du vecteur position se décompose en deux termes : un terme lié à la variation de Z et un autre au produit de r avec son dérivée.

• L'expression finale du vecteur vitesse inclut des contributions des termes liés à Z, r, et leur relation avec les vecteurs unitaires.

• Le calcul aboutit à une expression complexe mais structurée pour le vecteur vitesse incluant plusieurs produits.

Dérivation du vecteur accélération

• La dérivée du vecteur vitesse implique trois produits qu'il faut décomposer soigneusement.

• Chaque composante est analysée séparément, notamment celle liée à Z qui reste constante.

• Les autres composantes sont plus complexes, nécessitant d'injecter des expressions précédemment établies pour obtenir une forme simplifiée.

Repère sphérique et détermination du vecteur vitesse

Introduction au repère sphérique

• Dans un repère sphérique, on définit les axes X, Y, Z ainsi que l'origine pour tracer le point M.

• Le nouveau vecteur position est défini par rapport aux angles θ (par rapport à l'axe Z) et φ (dans le plan OXY).

Calcul du vecteur vitesse

• Le calcul du vecteur vitesse nécessite la dérivation de ce nouveau système ; il s'agit d'un produit impliquant r et sa dérivée.

Projection et Dérivée Temporelle des Vecteurs

Projection du vecteur er

• Dans le plan Ohz, on utilise la figure de projection pour projeter le vecteur e_r dans la base O, e_oh, e_z . L'angle theta est bien placé pour commencer la projection.

• La dérivée temporelle du vecteur unitaire e_oh est calculée en multipliant par le vecteur e_phi , car les deux vecteurs ont un angle de pi/2 .

Dérivation du vecteur er

• En effectuant la dérivée de l'expression trouvée, on obtient une combinaison de termes impliquant les sinus et cosinus de theta .

• On factorise l'expression par dottheta , ce qui donne une forme simplifiée reliant les différents vecteurs unitaires.

Relation avec le vecteur e_theta

• Il est suggéré que le vecteur résultant provient d'une projection d'un vecteur connu, ici identifié comme étant e_theta .

• Un schéma est proposé pour visualiser cette projection dans le plan Ohm, facilitant ainsi la vérification des relations entre les vecteurs.

Vérification des projections

• Lors de la projection sur les axes correspondants, on retrouve des expressions cohérentes avec celles précédemment établies.

• La dérivée temporelle du vecteur e_r se révèle être égale à une combinaison des termes liés à e_theta .

Résumé et expression finale

• Le résumé indique que notre vitesse est donnée par la dérivée du produit vectoriel impliquant rdote_r.

• L'expression finale pour la vitesse en coordonnées sphériques inclut des termes dépendant de l'angle et de sa dérivée.

Accélération en Coordonnées Sphériques

Introduction au repère de Frenet

• Le repère de Frenet est défini par une origine mobile liée au point M se déplaçant sur une trajectoire circulaire.

Composantes du repère

• Ce repère comprend un vecteur unitaire tangent orienté dans le sens du mouvement et un autre perpendiculaire vers le centre.

Vitesse dans le cadre du repère

• La vitesse s'exprime comme étant proportionnelle à ce nouveau système, où la norme dépend directement des angles associés.

Accélération associée