Combinaciones, permutaciones y variaciones | Ejemplo 3

¿Cómo se pueden sentar ocho personas en una fila?

Introducción al curso de combinatoria

• El presentador da la bienvenida a los participantes del curso de combinatoria y menciona que resolverán ejercicios sobre combinaciones, permutaciones y variaciones.

• Se indica que los ejercicios son de práctica y que el nivel de dificultad aumentará en videos posteriores.

Ejercicio 1: Sentar ocho personas

• Se plantea el primer ejercicio: cuántas maneras diferentes hay para sentar a ocho personas en una fila. Se aclara que el orden sí importa.

• Se utiliza un ejemplo práctico sobre la preferencia de asientos en un bus o avión para ilustrar la importancia del orden.

• Se explica que cambiar el orden de las personas sentadas resulta en diferentes configuraciones, lo cual es crucial para este ejercicio.

Método para resolver el ejercicio

• El presentador menciona que se trata de un problema de permutación debido a la importancia del orden.

• Al aplicar el método de las "cajitas", se detalla cómo calcular las opciones disponibles para cada asiento, comenzando con ocho opciones para el primero y disminuyendo hasta uno.

Cálculo final

• La fórmula utilizada es n factorial (8!), resultando en 40,320 formas diferentes para sentar a las ocho personas.

• Se concluye este ejercicio mostrando cómo se llega al resultado final mediante multiplicación sucesiva.

¿Cuántas formas hay de seleccionar tres amigos?

Planteamiento del segundo ejercicio

• En este caso, se presentan seis amigos: Álex, Blanca, Claudia, Diana, Esteban y Felipe. La tarea es seleccionar tres amigos para realizar un trabajo.

Importancia del orden

• Se discute si importa el orden al seleccionar a los amigos. Para determinar esto, se cambia el orden seleccionado inicialmente como prueba.

Importancia del Orden en Selecciones

Concepto de Combinaciones

• Se plantea un escenario donde tres personas (Álex, Diana y Claudia) realizarán el mismo trabajo, lo que indica que el orden de selección no importa.

• Si se asignaran roles diferentes (líder, ayudante, mandados), el orden sí sería relevante. Esto establece la diferencia entre combinaciones y permutaciones.

Aplicación de la Fórmula de Combinación

• En este caso específico, se trata de una combinación de 3 elementos seleccionados de un grupo de 6. Se elimina la variación y permutación debido a que el orden no es importante.

• La fórmula para calcular combinaciones implica identificar 'n' (total de elementos) y 'r' (elementos a seleccionar). Aquí n = 6 y r = 3.

Resolución Paso a Paso

• Se utiliza la fórmula: C(n,r) = n!/r!(n-r)! . Para este caso: C(6,3) = 6!/3! cdot 3! .

• Al simplificar 6! , se expresa como 6 times 5 times 4 times 3! , permitiendo cancelar los factoriales comunes.

Simplificación y Resultado Final

• Se realiza la simplificación eliminando factores comunes. Por ejemplo, al dividir por 3! , se reduce la expresión a términos más manejables.

• El resultado final muestra que hay 20 formas diferentes de formar grupos de tres amigos entre seis disponibles.

Ejercicios Prácticos sobre Combinaciones

Preguntas Clave para Resolver Problemas

• Es fundamental determinar si importa o no el orden antes de resolver problemas relacionados con combinaciones o variaciones.

• También es crucial saber si se utilizarán todos los elementos disponibles o si hay restricciones en su uso.

Ejemplo con Números Distintos

• Se presenta un ejercicio donde se deben formar números de tres cifras distintas utilizando las cifras del 1 al 5. La clave aquí es que las cifras deben ser únicas.

• Si se requiere que el número 5 ocupe siempre el lugar de las decenas, esto afecta cómo se forman los otros dígitos.

Importancia del Orden en Números

Método de las Cajitas en Variaciones y Permutaciones

Introducción al Método

• Se introduce el concepto de que no se trata de una combinación, sino de varias permutaciones. Se menciona que el método más fácil para resolver es el "método de las cajitas".

• El método se aplicará a un ejercicio específico, donde se utilizarán tres cajitas: unidades, decenas y centenas.

Opciones para Colocar Números

• En la cifra de las decenas debe estar siempre el número 5, lo que limita las opciones a solo una.

• Para la cifra de las centenas hay cuatro opciones (1, 2, 3 o 4), ya que el 5 no puede repetirse.

Cálculo de Opciones

• Al colocar un número en la cifra de las centenas (por ejemplo, el 2), quedan tres opciones para la cifra de las unidades (1, 3 o 4).

• La multiplicación total para calcular combinaciones es sencilla: 4 times 1 times 3.

Variación vs Permutación

• Se establece que estamos tratando con variaciones y no permutaciones porque no se usarán todos los elementos disponibles.

• La fórmula utilizada será para variaciones debido a la condición del número central (5).

Condiciones Específicas en Variaciones

• Se explica que aunque se están variando cifras, el número del centro siempre debe ser el mismo (5), limitando así las cifras a variar.

• Solo se pueden variar los números entre 1 y 4; por lo tanto, hay menos elementos disponibles para combinar.

Aplicación Práctica del Método

• Se discute cómo eliminar elementos fijos en cálculos simplifica el proceso.

• La fórmula utilizada es n!, donde n es igual a los números disponibles menos aquellos que no varían.

Resolución Final

• El cálculo final muestra cómo simplificar operaciones factoriales permite obtener resultados más fácilmente.