Programación cuadrática
Introducción
Resumen de la sección: En esta sección, el equipo número 4 presenta el tema de programación cuadrática y su historia.
Historia de la programación cuadrática
- La programación cuadrática inició entre 1950 a 1960 pero se popularizó en 1970 después de la segunda guerra mundial.
- Las funciones cuadráticas fueron importantes porque resolvían modelos locales simples para funciones no lineales generales.
- El uso de las aproximaciones cuadráticas para resolver problemas con funciones no lineales generales se remonta mucho tiempo atrás.
Programación Cuadrática
Resumen de la sección: En esta sección, se explica qué es la programación cuadrática y cómo funciona.
Características de la programación cuadrática
- La programación cuadrática pertenece a los problemas de programación no lineal.
- No tiene un algoritmo exacto para poder resolver todos los problemas ya que pueden presentarse exponencialmente o por producto de variables.
- Las técnicas propuestas para la solución de los problemas tienen mucha similitud con la programación lineal.
Modelo de Programación Cuadrática
- Un modelo de programación cuadrática es aquel que contiene una función objetivo f(x) cuadrática o incluye el producto de dos variables en esta ya sea maximizar o minimizar está sujeta a restricciones lineales e n variables.
- El modelo puede definirse como z = x^T * G * x + c^T * x, donde G es una matriz simétrica y definida negativa, c es un vector constante y x es un vector de variables.
- Las restricciones son lineales y garantizan un espacio de soluciones en un conjunto convexo.
Características de la Programación Cuadrática
Resumen de la sección: En esta sección, se explican las características de la programación cuadrática.
Características
- Un programa cuadrático es la forma más simple de un problema no lineal con restricciones de desigualdad.
- Este tipo de programación lineal también es conocido como optimización restringida linealmente ya que todas las restricciones deben ser satisfechas como igualdad.
- La restricción debe ser menor o igual para que se le considere un problema no lineal con restricción de desigualdad.
Funciones Cuadráticas
Resumen de la sección: En esta sección se habla sobre los diferentes tipos de problemas de programación cuadrática y cómo estos pueden clasificarse en problemas cuadráticos de administración sin restricciones y problemas cuadráticos de minimización sujeta a restricciones.
Problemas Cuadráticos de Administración sin Restricciones
- Se requiere minimizar la función cuadrática fx sobre un espacio completo.
- La función no está bien definida para puntos no inferiores a la región admisible.
Problemas Cuadráticos de Minimización Sujeta a Restricciones
- Se requiere minimizar la función objetivo fx sujeta a restricciones lineales de igualdad a x igual a b.
- Las restricciones de este tipo no establecen en la frontera del conjunto de soluciones factibles dentro del problema sino que reduce la dimensión donde está bien definido.
- Los óptimos que se llevan a obtener llegan a ser débiles porque una pequeña variación dentro de la restricción los deja fuera.
Aplicación de Rendimiento de Carteras Usando Programación Cuadrática
Resumen de la sección: En esta sección se explica cómo utilizar programación cuadrática para maximizar el rendimiento esperado y minimizar el riesgo al invertir en una cartera.
Método para Aplicar Rendimiento de Carteras Usando Programación Cuadrática
- Se piensa en un inversionista que tiene una cantidad fija para invertir.
- El objetivo es maximizar el rendimiento esperado y minimizar el riesgo al invertir en una cartera.
- Se aborda eligiendo un rendimiento mínimo aceptable esperado y encontrando la cartera con la varianza mínima que obtiene un rendimiento esperado aceptable.
Fórmulas Necesarias para Resolver Problemas de Programación no Lineal
- La suma de las variables independientes es igual al valor esperado de la suma de cada variable independiente.
- La varianza de la suma de las variables es igual a la varianza de la suma de las variables independientes más la sumatoria de la covarianza de las variables aleatorias.
- El valor esperado de k xy es igual a k por el valor esperado de x vota.
- La variable k x va a ser igual a cada al cuadrado va por la variable xy.
- La covarianza entre dos acciones se puede calcular como ave covarianza date xy xj.
Cálculo del Rendimiento Esperado
- Se utiliza una función para calcular el rendimiento anual esperado por un dólar invertido en acciones.
- Para asegurar que la cartera tiene un rendimiento esperado mínimo, se debe incluir una restricción adicional en la formulación.
Restricciones Adicionales
- Los valores del rendimiento esperado deben ser iguales o mayores al 12%.
- La cantidad total invertida debe ser igual a los mil dólares disponibles para invertir.
Objetivo de segundo grado
Resumen de la sección: En esta sección, se presenta el objetivo de segundo grado para obtener la cartera de varianza mínima que produce un rendimiento esperado de por lo menos 12%. Se muestra el modelo de programación cuadrática que debe ser resuelto.
- La función objetivo es minimizar z igual a punto 20 x 1 al cuadrado más punto 0.8 x 2 al cuadrado más punto 18 x 3 al cuadrado, más punto 10 x 1 x 2, más punto 4 x 1 x 3, más puntos 0.6 x2x3.
- Las variables están definidas como: X1, X2 y X3.
- Las restricciones son: Punto14x1 + Punto11x2 + puntos10x3 mayor o igual que120 (rendimiento esperado), X1+X2+X3 igual a1000 (suma invertida en cada acción), y X1,X2,X3 mayor o igual que0.
Resolución del problema en Excel
Resumen de la sección: En esta sección, se muestra cómo resolver el problema en Excel.
- Primero, defina las variables: X1, X2 y X3.
- Llene los valores predeterminados con ceros.
- Coloque una suma de sus tres valores y coloque el signo igual para poner1000 (cantidad fija para invertir).
- Coloque los valores esperados en una matriz conformada por tres filas y una columna.
- Construya la matriz de varianza CCOO Varianza matricialmente porque nos va a servir para formular la función objetivo.
- La función objetivo es la minimización de z igual a punto 20 x 1 al cuadrado más punto 0.8 x 2 al cuadrado más punto 18 x 3 al cuadrado, más punto 10 x 1 x 2, más punto 4 x 1 x 3, más puntos0.6x2x3.
- Utilice la fórmula que ayuda a devolver el producto de dos matrices y coloque la matriz conformada de8a10.
- Transponga la matriz en13a3.
- Use las combinaciones teclas control shift enter para que la fórmula funcione.
- En Solver, determine el objetivo (minimizar) y las restricciones (suma igual a1000 y suma producto mayor o igual a120).
- Seleccione el método no lineal óptimo.
Resultados óptimos
Resumen de la sección: En esta sección, se muestra el resultado óptimo comparado con el del libro de texto.
- El resultado óptimo es75.238punto0962.
Aplicaciones importantes
Resumen de la sección: En esta sección, se discuten algunas aplicaciones importantes de los modelos de programación cuadrática.
- Los modelos de programación cuadrática tienen aplicaciones importantes en áreas como finanzas y economía.
- Se utilizan para analizar estrategias de inversión óptimas y expectativas de cambio en distintas condiciones económicas para predecir precios o incrementos en inflación.
- Los software como Excel nos permiten resolver problemas matemáticos a través de programación cuadrática correspondiente.