Função do Primeiro Grau ou Função Afim: Introdução Detalhada (Aula 1 de 6) | MEM #28

Função Polinomial do Primeiro Grau

Introdução à Função Afim

• A aula aborda a função polinomial do primeiro grau, também conhecida como função afim, que é um tema recorrente em vestibulares e no ENEM.

• A definição da função é apresentada: uma função f dos reais nos reais, expressa como f(x) = Ax + B , onde A e B são números reais.

Coeficientes da Função

• O coeficiente A não pode ser zero; caso contrário, a função se tornaria constante. Isso é essencial para manter a natureza da função do primeiro grau.

• O valor de B pode ser qualquer número real, sem restrições. Assim, a função tem domínio e contradomínio nos números reais.

Termos Especiais na Função

• Os termos A e B têm nomes específicos:

• A : coeficiente angular (acompanha a variável).

• B : coeficiente linear ou termo independente (não varia).

Grau da Função

• A função é chamada de "função do primeiro grau" porque o expoente de x é 1, sendo este o maior expoente presente na expressão.

• É importante esclarecer que o nome "primeiro grau" não está relacionado ao nível escolar em que é ensinado.

Flexibilidade na Notação

• Não se deve fixar apenas na notação padrão de funções ( f(x), x, y). Exemplos podem variar conforme o contexto (como temperatura representada por outra letra).

Compreendendo Coeficientes em Funções Lineares

Identificação dos Coeficientes A e B

• O coeficiente angular (A) é o termo que acompanha a variável x. No exemplo, A é igual a 3, sendo importante não confundir com a expressão "3x", onde apenas o número 3 representa A.

• O coeficiente linear (B) é o termo independente da função, que neste caso é 2. Portanto, temos A = 3 e B = 2.

Análise de Exemplos de Funções

Letra B

• Na função s(t) = -2t + 1, o coeficiente angular (A) é -2 e o coeficiente linear (B) é 1. É crucial considerar os sinais ao identificar esses valores.

Letra C

• Para a letra C, se não há número explícito na frente do x, isso significa que A vale 1. Muitas pessoas cometem o erro de pensar que seria zero.

• O conceito de elemento neutro na multiplicação explica por que não precisamos escrever "1" antes do x; ele está implícito.

Letra D

• Na letra D, A vale 2 e como não há um termo constante presente, B é igual a zero. Isso se deve ao fato de que somar zero não altera a função.

Aplicação Prática: Tabelinha para Valores de X

• Após entender os coeficientes das funções apresentadas, o próximo passo envolve calcular valores para f(x), utilizando uma tabela para organizar os resultados.

Cálculo de Funções e Gráficos

Introdução ao Cálculo de Par Ordenado

• O cálculo inicial envolve a determinação do par ordenado (X, Y), onde X = 2 resulta em Y = 8.

• Ao calcular para X = -1, obtemos Y = -1, demonstrando que valores iguais são possíveis.

• Para X = 0, o resultado é Y = 2; esses pares ordenados são essenciais para construir gráficos.

Importância dos Cálculos Mentais

• A prática de cálculos mentais é enfatizada como uma habilidade importante para economizar tempo.

• O foco agora se volta para a letra B da questão, onde a variável T será utilizada.

Cálculo com Variável T

• A função S(T) é definida como S(T) = -2T + 1; substituindo valores de T gera pares ordenados correspondentes.

• Para T = 2, S(2) resulta em -3. Assim, o par ordenado é (2, -3).

• Quando T = -1, S(-1) resulta em 3; portanto, o par ordenado é (-1, 3).

Continuação do Cálculo com T

• Para T = 0, S(0) resulta em 1. O par ordenado obtido é (0, 1).

• É possível também calcular o valor de T dado um valor específico de S. Por exemplo: se S(T)=−2.

Resolução de Equações

• Substituindo na equação e isolando T leva à resolução da equação do primeiro grau.

• Após manipulações algébricas simples, encontramos que T pode ser expresso como .

Conclusão sobre Funções e Gráficos

• A relação entre as variáveis X e Y é reiterada através da função F(X), que representa a mesma coisa que Y.

Cálculo de Funções Lineares e Aplicações

Cálculo de Par Ordenado

• O professor calcula o par ordenado (X, Y) para X = 2, resultando em Y = -1.

• Ao calcular para X = -1, aplica a regra da multiplicação e obtém Y = -2.

• Para X = 0, o cálculo resulta em Y = -3 ou -1,5, dependendo da forma como é escrito.

Função Linear

• A função F(X) é definida como o dobro de X. Para X = 2, Y é igual a 4.

• Quando X = -1, F(-1) resulta em Y = -2; e para X = 0, F(0) é igual a 0.

• A função linear sempre passa pela origem (0,0), cruzando os eixos do plano cartesiano.

Aplicações na Física

• O professor menciona aplicações da função polinomial do primeiro grau no movimento uniforme e uniformemente variado.

• No movimento uniforme: espaço em função do tempo é dado por S = S₀ + V * t.

• No movimento uniformemente variado: V(t) é igual à velocidade inicial mais aceleração vezes o tempo.

Observações sobre Funções

• A função do primeiro grau pode ser expressa como F(X)=AX+B. Se A=1 e B=0, temos a função identidade F(X)=X.

• Na função identidade, cada valor de X gera o mesmo valor para Y; exemplo: F(1)=1 gera o par ordenado (1, 1).

Funções Lineares e Gráficos

Peculiaridades das Funções Lineares

• A função linear tem a peculiaridade de passar pelo ponto (0,0) quando o coeficiente B é igual a zero.

• O gráfico de funções do primeiro grau pode ser esboçado utilizando uma tabela de valores para X e Y.

Esboçando Gráficos

• Para a função f(x) = x + 1 , ao calcular f(1) , obtemos o ponto (1, 2).

• Ao calcular f(-2) , encontramos o ponto (-2, -1).

Determinando Retas

• Para determinar uma reta, são necessários apenas dois pontos; um único ponto não define uma reta única.

• Com os pontos obtidos, já é possível traçar o gráfico da função.

Dicas para Cálculo de Pontos Importantes

• Um valor importante é quando x = 0 ; isso fornece diretamente o valor de B no eixo Y.

• O gráfico sempre cortará o eixo Y no valor correspondente a B. No caso da função f(x)=x+1 , este valor é 1.

Raiz da Função

• Outro ponto crucial é onde f(x)=0 . Para a função dada, isso ocorre em x = -1 .

• O ponto (-1, 0), onde a função corta o eixo X, é chamado de raiz ou zero da função.

Aplicação Prática com Outras Funções

• Utilizando os pontos (0, B) e (X, 0), podemos determinar rapidamente as retas para outras funções lineares.

• A continuidade dos valores gerados pela função confirma que todos os pontos estarão sobre a mesma reta.

Exemplificação com Novas Funções

• Na letra B do exercício, consideramos a função f(x)=2x - 1 .

• Calculando para x = 0 , obtemos o ponto (0, -1).

Gráfico de Funções Lineares e Raízes

Esboço do Gráfico

• O gráfico da função é esboçado, passando entre os pontos 0 e 1, cortando o eixo X.

• A reta que representa a função passa pelos dois pontos determinados anteriormente.

Análise da Letra C

• Para a função f(x) = -1 - x , quando x = 0 , f(0) = -1 . Portanto, o ponto (0, -1) é identificado.

• Calcula-se o valor de x onde a função é igual a zero: 0 = -1 - x , resultando em x = -1 .

• Assim, o gráfico corta o eixo X no ponto (-1, 0).

Análise da Letra D

• A função dada é f(x) = -2x , uma função linear sem termo constante ( b = 0 ).

• Quando x = 0 , temos f(0) = 0 ; portanto, um ponto adicional é necessário para traçar a reta.

• Ao calcular para x = -1: f(-1)=2, resultando no ponto (-1, 2).

Comparação dos Gráficos

• Observa-se que funções com coeficiente angular positivo ( a > 0) são crescentes; já funções com coeficiente negativo ( a < 0) são decrescentes.

Lei de Formação da Função do Primeiro Grau

Definição e Aplicação

• A lei de formação de uma função do primeiro grau tem formato geral: f(x)= ax + b.

Exemplo Prático

• Para determinar uma função que passe pelos pontos (2,3) e (3,5):

• Substitui-se na forma geral: para o primeiro ponto: f(2)=3.

• Isso resulta na equação: 3=a*2+b.

Resolução das Equações

Determinação de Funções do Primeiro Grau

Introdução à Função do Primeiro Grau

• Para determinar uma função do primeiro grau, são necessários os valores de a e b. Com esses valores, a lei de formação da função é completa.

Cálculo dos Valores de a e b

• No segundo ponto, onde x = 3 e y = 5, substitui-se na equação: 5 = ax + b.

• A expressão pode ser reorganizada para facilitar a resolução. Multiplicando a primeira equação por -1, torna-se possível simplificar o sistema.

Resolução do Sistema

• Após multiplicar por -1, as equações se tornam negativas: -3, -2, -B. Isso permite somar as duas equações.

• Ao somar as equações, obtemos que -b + b = 0, resultando em uma única incógnita para resolver.

Determinação dos Valores Finais

• O valor de a é encontrado como sendo igual a 2 após resolver a soma das equações.

• Para encontrar o valor de b, substitui-se o valor de a: 5 = 6 + b Rightarrow b = -1.

Função Completa e Prova Real

• A função final é expressa como f(x) = 2x - 1.

• Realiza-se uma prova real substituindo valores conhecidos para verificar se a função retorna os pares ordenados corretos.

Aplicação em Outro Exemplo

• Na letra B, inicia-se com um novo par ordenado onde f(1) deve resultar em -1.

• A forma geral da função é utilizada novamente: -1 = ax + b, onde se substitui o valor conhecido.

Resolvendo Novamente para Encontrar os Coeficientes

• Um segundo ponto é utilizado para criar outra equação. Somando as duas equações resulta em uma simplificação que leva ao cálculo do valor de b = 1/2.

Conclusão da Segunda Função

• O valor final de a = -3/2, levando à nova função: f(x)= -3/2x + 1/2.

Cálculo de Funções do Primeiro Grau

Cálculo da função f(1)

• O cálculo inicial é feito para a função f(1), onde x = 1. O resultado obtido é -2, após somar os valores -3 e 1.

• A partir do valor de x = 1, o par ordenado (1, -1) é determinado, confirmando que quando X vale 1, Y vale -1.

Cálculo da função f(-1)

• Para calcular f(-1), substitui-se x por -1 na função. O resultado obtido é Y = 2, resultando no par ordenado (-1, 2).

• A fórmula da função foi estabelecida como f(x) = -3/2 * x + 1. Essa relação permite determinar outros pontos.

Representação Gráfica

• Um gráfico das duas funções foi desenhado previamente. Os pontos (2, 3) e (-1, 2) foram marcados para visualização.

• É possível determinar a lei de formação da função do primeiro grau através dos gráficos ou dos pontos identificados.

Conclusão e Próximos Passos