EL4701 Lección 02: Variable Compleja

Introducción

Resumen de la sección: En esta sección, el profesor da la bienvenida a los estudiantes y hace un breve repaso de lo que se cubrió en la clase anterior.

Definiciones básicas

• Se definieron las palabras clave: señales, sistemas y modelos.

• Se explicó qué son las señales.

• Se explicó qué son los sistemas.

• Se explicó qué son los modelos.

Sistemas

• Se discutió cómo tomar una señal en un circuito y cuál es su implicación.

• Se mencionó que estamos midiendo una magnitud física para extraer información.

• Se explicó que la información extraída es lo que hace que una señal sea una señal, y todo esto se representa con funciones matemáticas.

• La palabra clave es "colección de subsistemas".

• El sistema recibe una señal de entrada, le hace algo a esa señal y produce una señal de salida.

Modelos

• Un modelo es una simplificación de lo que ocurre en un sistema real.

• Los modelos dependen mucho de la aplicación donde estemos.

• El modelo más simple para un resistor puede ser diferente según la aplicación.

Matemáticas

-[](0:05:19 t:319s )Se empezará con el tema de variable complejo.

Definición de Conjuntos

Resumen de la sección: En esta sección, el profesor explica que un conjunto es una colección de elementos y que los matemáticos no definen un conjunto por curiosidad debido a las paradojas lógicas que pueden surgir. Aunque formalmente no se define un conjunto, informalmente podemos entenderlo como una colección de elementos.

• Un conjunto es una colección de elementos.

• Los matemáticos no definen un conjunto por curiosidad debido a las paradojas lógicas que pueden surgir.

• Formalmente, no se define un conjunto, pero informalmente podemos entenderlo como una colección de elementos.

Subconjuntos e Igualdades

Resumen de la sección: En esta sección, el profesor explica la definición formal de subconjunto y cómo dos conjuntos son iguales. También menciona que para dos conjuntos ser iguales deben cumplirse dos condiciones: todos los elementos del primer conjunto deben estar en el segundo y viceversa.

• La definición formal de subconjunto es: si todo elemento en A también está en B, entonces A es un subconjunto de B.

• Dos conjuntos son iguales si todos los elementos del primer conjunto están en el segundo y viceversa.

• Para dos conjuntos ser iguales deben cumplirse dos condiciones: todos los elementos del primer conjunto deben estar en el segundo y viceversa.

Operaciones básicas de conjuntos

Resumen de la sección: En esta sección, se definen las operaciones básicas de conjuntos: unión, intersección y diferencia. También se explica el concepto de producto cartesiano.

Unión

• La unión de varios conjuntos es el conjunto que contiene todos los elementos que están en al menos uno de los conjuntos.

• Ejemplo: Si tenemos los conjuntos C1=1,2, C2=2,3 y C3=4, entonces la unión sería 1,2,3,4.

Intersección

• La intersección de varios conjuntos es el conjunto que contiene todos los elementos que están en todos los conjuntos.

• Ejemplo: Si tenemos los mismos tres conjuntos del ejemplo anterior (C1=1,2, C2=2,3 y C3=4), entonces la intersección sería 2.

Diferencia

• La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que están en A pero no en B.

• Ejemplo: Si tenemos A=1,2 y B=2,3, entonces A-B = 1.

Producto Cartesiano

• El producto cartesiano es un conjunto formado por todas las posibles combinaciones ordenadas entre dos o más conjuntos.

• Ejemplo: Si tenemos A=a,b y B=x,y,z, entonces el producto cartesiano sería (a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z).

Producto interno de conjuntos

Resumen de la sección: En esta sección, se explica el concepto de producto interno de conjuntos.

• El producto interno de dos conjuntos A y B es un conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b), donde a es un elemento de A y b es un elemento de B.

• Ejemplo: Si tenemos A=triángulo, círculo, cuadrado y B=+, -, entonces el producto interno sería (triángulo,+),(triángulo,-),(círculo,+),(círculo,-),(cuadrado,+),(cuadrado,-).

Estructura algebraica

Resumen de la sección: En esta sección, se explica el concepto de estructura algebraica.

• Una estructura algebraica es un par ordenado que consta de un conjunto y un conjunto de operaciones definidas en ese conjunto.

• Ejemplo: Si tenemos el conjunto 1,2,3 y las operaciones suma (+) y multiplicación (), entonces la estructura algebraica sería (1,2,3,+,).

Operaciones y conjuntos

Resumen de la sección: En esta sección, el instructor habla sobre las operaciones binarias y unarias. Las operaciones binarias necesitan dos elementos para generar un tercero, mientras que las operaciones unarias solo necesitan un elemento. También discute cómo las operaciones pueden ser cerradas o abiertas dependiendo del conjunto en el que se mapean.

Operaciones binarias y unarias

• Las operaciones binarias necesitan dos elementos para generar un tercero.

• Las operaciones unarias solo necesitan un elemento.

• Las operaciones pueden ser cerradas o abiertas dependiendo del conjunto en el que se mapean.

Elemento neutro e identidad

• El elemento neutro es aquel que no cambia el valor de otro número al ser utilizado en una operación.

• El elemento identidad es lo mismo que el elemento neutro.

• Ejemplos de elementos neutros son 0 para la suma y 1 para la multiplicación.

Propiedades de las operaciones

• Una operación es asociativa si da igual en qué orden se realicen las operaciones.

• Una operación es conmutativa si da igual el orden en que se realicen las operaciones.

• La distributividad es una característica importante para dos operaciones binarias.

Matrices y simetría

Resumen de la sección: En esta sección, el instructor habla sobre cómo las matrices pueden ser utilizadas para determinar si una operación es conmutativa o simétrica.

Matrices y simetría

• Las matrices pueden ser utilizadas para determinar si una operación es conmutativa o simétrica.

• Una matriz es simétrica si es igual a su transpuesta.

Elemento neutro e inverso

Resumen de la sección: En esta sección, el profesor explica el concepto de elemento neutro y elemento inverso en una operación matemática. También menciona que un conjunto puede tener diferentes estructuras algebraicas.

Elemento neutro y elemento inverso

• El punto es un elemento neutro solo en la segunda posición.

• No hay ningún elemento neutro en la primera posición.

• El elemento inverso es una característica para cada elemento en particular.

• El punto es el elemento inverso cuando se opera con otro punto.

• Todos los elementos son inversos de sí mismos.

Estructuras algebraicas

• Una estructura algebraica es un par ordenado que tiene un conjunto y ciertas operaciones.

• Las estructuras algebraicas simples son las más simples de todas, y consisten solo en un conjunto definido como una estructura algebraica.

Introducción a estructuras algebraicas

Resumen de la sección: En esta sección, el instructor introduce el concepto de estructuras algebraicas y explica los diferentes tipos de sistemas binarios.

Sistemas Binarios

• El sistema binario es una estructura algebraica que consta de un conjunto y una operación binaria.

• Un ejemplo de sistema binario es el conjunto de números reales con la operación de suma.

• Otro ejemplo es el conjunto conformado por falso y verdadero con las operaciones "no" y "o".

• Las estructuras similares a grupos son conjuntos que tienen una operación binaria.

Jerarquía de Clases

• La jerarquía comienza con el magma, que es un conjunto con una operación binaria.

• Un semi grupo es un magma cuya operación es asociativa.

• Un monoide es un semi grupo que tiene elemento identidad.

• Un grupo es un monoide que tiene inverso.

• Un grupo abeliano (conmutativo) tiene una operación conmutativa.

Gráfico Conceptual

• El instructor presenta un gráfico conceptual para ilustrar la jerarquía de clases en las estructuras algebraicas.

• Los magmas están en la base del gráfico, seguidos por los semi grupos, los monoídes, los grupos y finalmente los grupos abelianos.

• El instructor explica que si un grupo no tiene inverso, se convierte en un monoide.

Estructuras similares a grupos

Resumen de la sección: En esta sección, el profesor explica las estructuras similares a grupos, como los magmas y los semigrupos. También habla sobre los grupos conmutativos y cómo se relacionan con los magmas.

Magmas y grupos conmutativos

• Un magma es un conjunto con una operación binaria.

• Si la operación es conmutativa, entonces el magma es un grupo conmutativo.

• El grupo de dianas es un ejemplo de un grupo conmutativo.

Anillos

• Los anillos son estructuras algebraicas que tienen dos operaciones binarias.

• Una operación sigue siendo la de monoide, mientras que la otra debe ser del grupo abeliano.

• Entre las dos operaciones debe haber distributividad.

Anillo de división

• Un anillo de división tiene dos operaciones cuyos elementos neutros son diferentes.

• Todo elemento diferente al neutro en la operación del grupo abeliano tiene un inverso respecto a la operación del monoide.

• Los racionales son un ejemplo de anillo de división.

Semianillos

• Un semianillo tiene una operación adicional además del monoide.

• Las dos operaciones pueden ser cualquier cosa, pero deben tener propiedades específicas para formar un anillo.

Estructuras algebraicas

Resumen de la sección: En esta sección, el profesor explica cómo las operaciones en los anillos y cuerpos cambian dependiendo de las propiedades que tienen. También comienza a revisar los números naturales como una estructura algebraica.

Definición de estructuras algebraicas

• Las operaciones en los anillos y cuerpos cambian dependiendo de las propiedades que tienen.

• El grupo D ya no tiene todo y cuando hay dos operaciones de grupo, ya no se llama un cuerpo.

Números naturales como estructura algebraica

• Los números naturales provienen del concepto de cardinalidad y ordinalidad.

• Los números naturales sirven para contar cuántos elementos tengo en conjunto y para ordenar cosas.

• La definición matemática de los números naturales es a través de los axiomas de piano: existe un número natural cero, todo número natural tiene un número sucesor, ningún número natural tiene cuyo sucesor sea cero y dos números naturales distintos tienen sucesores distintos.

• La suma de dos números naturales se define como cualquier número natural que le sume 0 es neutro y si tengo a más el sucesor bebé entonces eso va a ser igual al sucesor de a más.

Definición de los números enteros y sus propiedades

Resumen de la sección: En esta sección, el orador define los números enteros y explica sus propiedades. También compara las propiedades de la suma y multiplicación en los números naturales con las del grupo villano y anillo conmutativo en los enteros.

Definición de los números enteros

• Los números enteros son una estructura algebraica que incluye a los naturales positivos, así como a sus inversos aditivos (números negativos).

• Los inversos aditivos de los naturales positivos se representan con un signo menos (-) delante del número.

• La suma en los enteros es cerrada, asociativa, conmutativa y tiene elemento neutro (0), pero no tiene elemento inverso.

• La multiplicación en los enteros es binaria, asociativa, distributiva sobre la suma y tiene elemento neutro (1), pero no tiene elemento inverso.

Propiedades de la suma y multiplicación en Z

• La suma en Z forma un grupo villano debido a que es cerrada, asociativa, conmutativa y tiene elemento neutro (0). Además, cada número entero positivo tiene un inverso aditivo.

• La multiplicación en Z forma un anillo conmutativo porque cumple las mismas propiedades que la suma más distributividad sobre ella. Sin embargo, no todos los elementos tienen inverso multiplicativo.

Operación resta en los enteros

Resumen de la sección: En esta sección, el orador define la operación resta en los enteros y explica cómo funciona.

• La operación resta en los enteros es simplemente la suma del primer elemento con el inverso aditivo del segundo elemento.

• La resta no es conmutativa, ya que cambiar el orden de los elementos cambia el resultado.