📚 𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑬𝑻𝑰𝑪𝑨 🔹 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 🔸

Introducción a la Teoría de Fracciones

Definición y Componentes de una Fracción

• La fracción es una expresión de división compuesta por un numerador y un denominador, representada mediante una línea horizontal o diagonal.

• El numerador (a) indica las partes que se toman de la unidad dividida, mientras que el denominador (b) señala en cuántas partes se divide esa unidad.

Características del Numerador y Denominador

• El valor del numerador debe ser diferente a cualquier múltiplo del denominador para asegurar que la fracción sea inexacta y no entera.

• Ejemplos de expresiones matemáticas que son fracciones incluyen 7/13, √2/3, -5/4, etc., donde solo los enteros son considerados válidos como numeradores y denominadores.

Clasificación de Fracciones

Fracciones Propias e Impropias

• Las fracciones propias tienen un numerador menor que el denominador (ejemplo: 6/7), resultando siempre en valores menores a uno.

• En contraste, las fracciones impropias tienen un numerador mayor al denominador (ejemplo: 13/2), lo cual resulta en valores mayores a uno.

Reducción de Fracciones

• Se clasifican como reductibles si sus términos tienen divisores comunes distintos de uno; por ejemplo, 16/24 puede simplificarse.

• Las fracciones irreductibles no pueden simplificarse más allá del divisor común uno; ejemplos incluyen 17/3 o 25/24.

Operaciones con Fracciones

Suma y Resta

• Para sumar dos fracciones como 3/4 + 7/5, se multiplican los términos cruzados y luego los denominadores para obtener el resultado final.

• Similarmente, para restar se utiliza el mismo método pero prestando atención al orden correcto en los productos cruzados.

Multiplicación y División

• La multiplicación se realiza multiplicando directamente los numeradores entre sí y los denominadores entre sí; por ejemplo: (2/3) * (4/6).

• La división implica multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda; esto permite simplificar antes si es posible.

Observaciones sobre Sumas Irreductibles

Condiciones para Resultados Enteros

• La suma de dos fracciones irreductibles será entera únicamente si comparten el mismo denominador; esto significa que deben ser homogéneas.

Equivalencia entre Fracciones

• Al simplificar dos fracciones diferentes pero equivalentes obtendremos el mismo valor irreductible; este proceso involucra dividir ambos términos por su máximo común divisor.

Números Decimales Originados por Fracciones

Tipos de Números Decimales

1. Decimal Exacto: Tiene cifras limitadas después del punto decimal (ejemplo: 0.30).

2. Decimal Periódico Puro: Contiene cifras infinitas que se repiten indefinidamente (ejemplo: 0.(5)).

3. Decimal Periódico Mixto: Combina cifras no periódicas con cifras periódicas repetitivas (ejemplo: 0.(1)(6)).

Generación de Números Decimales desde Fracciones

Formulación de la Fracción Generatriz

1. Para decimales exactos, toma las cifras no enteras como numerador seguido por ceros según la cantidad decimal.

2. Para decimales periódicos puros, usa todas las cifras periódicas sobre un número formado por nueves.

3. Para decimales mixtos, resta las cifras no periódicas del total usando ceros según corresponda en el denominador.

Estas fórmulas permiten identificar cómo cada tipo decimal puede ser representado nuevamente como una fracción generadora adecuada dentro del sistema numérico base diez.