Propriedades de Sistemas | Sinais e Sistemas

Introdução aos Sistemas e Sinais

Apresentação do Canal

• Ester dá as boas-vindas ao canal de matemática e introduz o tema do vídeo, que é sobre propriedades de sistemas.

Revisão dos Conceitos Anteriores

• O sistema é definido como um processo onde um sinal de entrada x[n] passa por transformações para gerar um sinal de saída y[n] .

• Exemplo 1: A saída y[n] = 2x[n] indica que o sinal de entrada é duplicado.

• Exemplo 2: A saída y[n] = x[n-1]^2 mostra que a entrada é atrasada em uma amostra e elevada ao quadrado.

• Exemplo 3: A saída y[n] = x[n] + y[n-1] , onde a saída atual depende da entrada presente e da saída anterior.

Propriedades dos Sistemas Causais

Definição de Sistema Causal

• Um sistema causal depende apenas das entradas presentes ou passadas, nunca futuras. Por exemplo, y[n] = 2x[n-1] .

Exemplos de Sistemas Causais

• No caso de y[n] = x[n+1]-y[n+1]+1 , a dependência da entrada futura torna este sistema não causal.

Análise Adicional

• O exemplo com y=x-x+1 ilustra que o sistema está utilizando uma entrada futura, caracterizando-o como não causal.

Exemplos Práticos e Compreensão

Estudo do Sistema com Entradas Passadas

• O sistema dado por y[n]=x[-n] é considerado causal porque utiliza apenas valores passados.

Comportamento em Valores Negativos

Sistemas Estáveis e Lineares

Comportamento de Sistemas com Entradas Negativas

• O sistema analisa entradas futuras quando se está em estados negativos, ao contrário do que ocorre em estados positivos, onde apenas entradas passadas são consideradas.

Definição de Sistemas Estáveis

• Um sistema é considerado estável se entradas finitas resultam em saídas finitas, evitando explosões para o infinito.

Exemplo de Saída Controlada

• Se a saída y[n] é duas vezes a entrada x[n-1] , a saída permanece controlada e não tende ao infinito, mesmo com uma entrada infinita.

Análise da Saída em Diferentes Condições

• A análise mostra que para diferentes valores de n , como -3, -2 e 0, as saídas correspondem a zero ou valores controlados. Por exemplo, quando n = 0 , y= 0 .

Comportamento do Sistema com Sinal de Grau

• Para um sinal constante (de grau), a saída também se mantém constante em dois, demonstrando estabilidade no sistema.

Comportamento de Sistemas Não Estáveis

Análise de Sistema Acumulativo

• Quando o sistema considera entradas acumulativas (como um degrau), as saídas começam a divergir para o infinito à medida que os valores aumentam.

Propriedades dos Sistemas Lineares

• Um sistema linear deve satisfazer duas condições: aditividade (a soma das entradas resulta na soma das saídas) e homogeneidade (multiplicar uma entrada por um escalar multiplica a saída pelo mesmo escalar).

Exemplificação da Linearidade

• Ao aplicar diferentes entradas ao sistema linear, como um sinal de grau e seu dobro, espera-se que as saídas sejam proporcionais às respectivas entradas.

Verificação da Linearidade no Sistema

Propriedades de Sistemas Lineares

Introdução às Entradas e Saídas

• O processo começa com a definição de duas entradas, x_1 e x_2, onde a saída correspondente é dada por y_n = x_1(n + 1) e y_2 = x_2(n + 1).

• A relação entre as saídas é expressa como uma combinação linear: a cdot y_1 + b cdot y_2, onde a e b são coeficientes que ponderam as contribuições das entradas.

Combinação Linear de Entradas

• A nova entrada, x_3, é definida como uma combinação linear das entradas anteriores, ou seja, x_3 = a cdot x_1 + b cdot x_2.

• A saída correspondente, y_3, também deve ser uma combinação linear das saídas anteriores: isso confirma que o sistema se comporta de maneira linear.

Invariância no Tempo

• Um sistema é considerado invariante no tempo se sua resposta não muda ao longo do tempo. Isso significa que atrasar a entrada resulta em um atraso equivalente na saída.

• Por exemplo, se uma entrada gerando uma saída específica for atrasada em duas amostras, a saída resultante também deve ser atrasada em duas amostras.

Propriedades do Sistema

• As propriedades discutidas incluem linearidade e invariância no tempo. Essas características serão exploradas mais detalhadamente em exercícios futuros.